Arithmétique.

[ETINCELLE19]

Bonsoir tout le monde.

Je vous présente un exercice d'arithmétique relativement difficile. Le voici :

Trouver le plus petit nombre entier naturel non nul tel que soit divisible par 2015.

[aviateur]

Bjr
2018=3*13*31
OR 3^n-2^n=0 mod 3 implique n pair . n=2p
3^n-2^n=9 ^p -4 ^p =0 mod 13 implique p pair donc n=4 q

Il faut alors 3^n-2^n=0 mod 31
Comme 31 est premier on obtient n est un multiple de 30.
Finalement n est un multiple de ppmc(4,30)=60.
Mais 60 est solution. donc n=60

[FLBP]

Salut,
2015 = 3*13*31
Avec 2 et 3 premier on peut utiliser le petit théorème de Fermat,
3^{p-1}-2^{p-1} = 1 - 1 [p] = 0 [p]
J'obtiens aussi PPCM(2,12,30) = 60

[Ben314]

Salut,

Il faut alors 3^n-2^n=0 mod 31
Comme 31 est premier on obtient n est un multiple de 30.

J'ai un peu des doutes concernant le fait que le théorème de Fermat soit suffisant pour montrer l'implication SI 3^n-2^n=0 mod p (premier) ALORS n = 0 [p-1] (c'est la réciproque qu'il prouve et rien de plus).
Par exemple pour le premier précédent, à savoir p=13, ben 3^n-2^n=0 mod 13 n'implique pas n = 0 [12], (mais uniquement n = 0 [4]).

2015 = 3*13*31
Avec 2 et 3 premier on peut utiliser le petit théorème de Fermat,
J'obtiens aussi PPCM(2,12,30) = 60

Exactement la même remarque : la solution est effectivement 60, mais c'est un coup de chance (et c'est plutôt PPCM(2,4,30) que PPCM(2,12,30) )

[chan79]

salut
C'est un peu "tricher" mais un simple tableur donne facilement le résultat

[mathelot]

2018=3*13*31

c'est curieux, 2018 n'est pas divisible par 3

[aviateur]

bjr Je répond aux remarques de @mathelot et @ben
@mathelot évidement c'est le nombre de 2015 que j'ai envisagé (comme dans l'énoncé)

[quote "ben a dit" ]J'ai un peu des doutes concernant le fait que le théorème de Fermat soit suffisant pour montrer l'implication SI[/quote]
Evidemment je n'ai as utilisé le théorème de Fermat directement. D'ailleurs je ne l'ai pas cité et le "implique" que j'ai utilisé cache un raisonnement que je n'ai pas voulu détailleru un peu par flemme mais aussi pour que celui qui pose la question réagisse un peu .
En fait sans trop rentrer dans les détails le fait que 31 est premier et le th de Fermat avec un petit raisonnement on a que n divise 30. Ensuite on regarde dans la liste des diviseurs des diviseurs de 30 (qui ne sont pas nombreux) que seul 30 convient.

@chan
bien sûr on peut utiliser un tableur mais il me semble que le but du jeu est de donner la réponse avec un minimum de calcul, donc en introduisant du raisonnement.

[chan79]

@chan
bien sûr on peut utiliser un tableur mais il me semble que le but du jeu est de donner la réponse avec un minimum de calcul, donc en introduisant du raisonnement.

oui, c'est toujours mieux si on peut le faire à la main, avec raisonnement.