Question dérivabilité/ continuité

[SeifMaths]

Salut, lorsqu'une fonction f est dérivable sur ]a,b[ , f' est elle donc continue sur ]a,b[ ?
Je m'excuse s'il s'avère que c'est une question de cours, mais je n'ai pas trouvé de réponse dans le cours.

[chan79]

salut
Essaie avec ]a;b[=]-1;1[
f(0)=0
f(x)=x²*sin(1/x) si x différent de 0

[SeifMaths]

Bonjour, mais cette fonction n'est pas derivable en 0 non?

[Lostounet]

Salut, lorsqu'une fonction f est dérivable sur ]a,b[ , f' est elle donc continue sur ]a,b[ ?
Je m'excuse s'il s'avère que c'est une question de cours, mais je n'ai pas trouvé de réponse dans le cours.

Bonjour, si f est dérivable alors f est continue. Mais la continuité de f' n'est pas automatique, comme te le suggère Chan !

La fonction qu'il propose est continue en 0 (vois tu comment le prouver?), elle est même dérivable en 0.

En effet:
[f(a + h) - f(a)]/h en a = 0, on a: [f(0 + h) - f(0)]/h = h sin(1/h)

Et en valeur absolue, |f(0+h) - f(0)|/h <= |h| * 1 qui tend vers 0 quand h tend vers 0. Donc la fonction f est dérivable en 0 avec, de fait, f'(0) = 0

Maintenant, tu peux essayer de calculer f' pour voir si f' est aussi continue en 0.

Par contre une question plus difficile: combien une dérivée peut-elle se permettre d'être discontinue (en combien de points maximum)?
Il faudrait peut-être alors faire appel au théorème de Baire.

[SeifMaths]

Merci beaucoup, je suis convaincu maintenant!

[Lostounet]

Et la continuité de f' en 0 alors?
Les messages précédents ne suffisent pas à convaincre un lecteur attentif! Pourquoi f est dérivable en 0 mais f' n'est pas continue en 0?

On a pas encore montré pourquoi f convient...