Polynôme caractéristiques

[Tatie]

Bonjour je n'arrive jamais à développer une matrice pour trouver son polynôme caractéristiques surtout sur les matrices 3x3 je m'embrouille tout le temps...

Par exemple matrice 3x3
5 -17 25
2 -9 16
1 -5 9
Je sais pas si vous arrivez à bien voir ma matrice
Donc je mets P(x) =... donc ma matrice Avec des -x sur ma diagonales mais je développe comme si je cherchais le déterminant mais je retombe jamais sur le bon résultat je dois avoir un problème de factorisation... La je suis sensée trouver -x^3 +5x^2-8x
Et moi je trouve - x^3 +5x^2-5x - 4

[Pisigma]

Bonjour,

sauf erreur de ma part, en développant on a:

[Tatie]

Bonjour,
Merci pour votre réponse ouii c'est ça la réponse mais je n'arrive pas du tout à retomber dessus
En fait je développe ma matrice
(5-x)(-9-x)(9+x)-250-272-25(-9-x)+80(5-x)+34(9+x)

Mais je ne vois pas où est mon erreur car impossible de retomber sur le bon résultat ^^

[Tatie]

Ooo non j'ai mal recopier ma matrice excusez moi je vais recommencer pour voir ...

[Tatie]

Et du coup pour trouver les racines évidentes : je dois faire la division euclidienne
Donc je cherche une racine évidente et je vois que lorsque x= 1 alors ca fait 0
Donc je fais mon résultat / x-1 c'est ca ? Merci

[Tatie]

J'ai réussi à retrouver comme vous super !! Merci

[Tatie]

Car quand j'effectue la division euclidienne je trouve (x-1)(-x^2+4x-4)
Donc je trouve une valeur propre = 1 mais je n'arrive pas à factoriser le 2eme polynôme car les racines ne sont ps entières ? J'ai du faire une erreur car mon prof d'algèbre trouve une autre valeur propre =2 d'ordre de multiplicité 2

[Carpate]

C'est du grand n'importe quoi !

je n'arrive jamais à développer une matrice pour trouver son polynôme caractéristique

Une matrice ne se développe pas, elle s'échelonne, se diagonalise, s'inverse, etc

Avec des -x sur ma diagonale mais je développe comme si je cherchais le déterminant

Mais ce n'est pas "comme si" ! mais exactement ceci. Le polynôme caractéristique de cette matrice est
que l'on obtient en développant ce déterminant.
Pour une matrice 3 x3 tu peux utiliser la règle de Sarrus : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a ... arrus.html
Et tu peux contrôler ton résultat en utilisant une calculatrice de matrices, par exemple : http://wims.unice.fr/wims/fr_tool~linear~matrix.html

[Carpate]

Wims donne pour résultat
racines "évidentes" : 1 et 2

[Tatie]

Ok merci donc il y a 2 racine évidente mais pourquoi mon prof à choisit de diviser par x-1

[Carpate]

Pose lui la question : il n'a pas dû penser que la 2 ème racine (double) serait elle aussi évidente ....

EDIT
En fait la division par x-1 permet de montrer que 2 est une racine double du polynôme