Anneaux

[ninachabchouba]

bonsoir, svp vous pouvez m'aider sur cet enoncé?

soit un anneau (Z[ (],+,*), tq Z[] ={a+b, (a,b) dans Z²}
G le groupe des inversibles et G+ son intersection avec R+/{0}
soit M>1, on doit mq G+]1,M] est fini et que G+ monogene

on sait que si U dans G et u >1 alors (a,b) sont dans N*

[Ben314]

Salut,
1. Déjà, avant de se lancer dans le moindre calcul, ben il faudrait évidement savoir ce qu'est le qui apparait dans l'énoncé (entier naturel ? entier ? réel ? complexe ? autre chose ? propriétés particulières de d ?)
2. Ensuite (modulo que tu ait la réponse au 1., sinon c'est foutu), as-tu cherché à caractériser les élément inversible de A ?

[ninachabchouba]

d est un entier naturel qui n'est pas carré
on sait que les inversibles u=a+b.sqrt(d) de Z[sqrt d] sont ceux tq |N(u)|=1 avec N(u)=a²-b²d

[zygomatique]

salut

donc tout revient à montrer que l'ensemble des couples (a, b) tels que |a^2 - b^2d| = 1 est fini ...

[Ben314]

Oui, c'est O.K.
Après, si tu as déjà démontré que les éléments de A inversible et >1 sont ceux de la forme avec alors ça me semble super facile d'en déduire qu'il n'y en a qu'un nombre fini dans ]1,M] pour M fixé, non ?

Concernant le coté monogène, il y a un truc pas évident du tout (il me semble), c'est de montrer qu'il y a au moins un inversible autre que 1 et -1.
Par contre ensuite, c'est facile vu que tu en déduit qu'il y en a au moins un qui est >1 et donc qu'il existe un "plus petit inversible >1". Ensuite, tu montre aisément que ce "plus petit inversible >1" engendre le groupe G+.

[ninachabchouba]

d'accord merci beaucoup, j'essaierai de trouver, bien que je ne maitrise pas trop les groupes et donc ce qui peut etre aisé est encore difficile pour moi.

[ninachabchouba]

bonjour
j'arrive pas a prouver que c'est fini

[Ben314]

Là... c'est grave....
Si a et b sont des entiers naturels (c'est à dire positifs) alors donc pour que soit inférieur à , il faut (mais il ne suffit pas) que soit inférieur à ce qui ne laisse qu'un nombre fini de possibilités pour .
De même, il faut que soit inférieur à ce qui ne laisse qu'un nombre fini de possibilités pour .

[ninachabchouba]

oui ca j'avais compris mais je pensais qu'il fallait creer une application pour injecter l'ensemble dans un autre fini.. j ai peur d'utiliser le français dans mes preuves

[Ben314]

Si tu veut, tu peut utiliser des trucs du style l'application puis montrer qu'elle est injective (ce que tu sait déjà) et que les images des éléments qui nous intéressent (les inversibles >1) sont dans l'ensemble fini ou tout autre rédaction un peu du même style.

Mais perso., je le ferais pas : je n'utilise le symbolisme mathématique que lorsque "ça gagne quelque chose", soit parce que je suis pas certain à 100% que la rédaction "en Français" soit exempte d'erreur, soit parce que c'est bien plus rapide à écrire, soit parce que c'est bien plus facile à comprendre.
Sauf qu'ici, c'est pas le cas : je trouve que ça a plutôt tendance à rendre le truc "légèrement obscur" alors qu'en Français, c'est "super clair".

Le seul truc qu'on peut éventuellement faire, c'est de (un peu) raccourcir en écrivant (en symbolique) que :
qui est fini.
à la place du laïus çi dessus.