Endomorphisme

[ariel60]

Bonjour,
J'ai un problème avec cet exercice:
E=On considère l'endomorphisme
fn,x()= - pour tout i=1,...,n où
=
k allant de 1 à n et x R

1)Etablir M_n,x, la matrice associée à fn,x dans ,base canonique de Rn.
2)trouver un vecteur en fonction de tel que soit une base de l'image de Im f_n,2.En déduire dim ker f_n,2
3)Trouver la condition nécessaire et suffisante sur x,y, pour que t=x e1+ y e2+ ze3 appartienne à kerf3,2
Alors je coince un peu à partir de la 2 eme question,puisque f s ecrit en fonction des vecteurs ei,je ne vois pas comment le remplacer dans f,surtout à la 3e question.
Merci d'avance pour votre aide

[Kolis]

Bonjour !
2) En remplaçant par 2 on a . Donc l'image est facile à obtenir...
3) tu écris et tu identifies les coefficients (en remplaçant par ) puisque est une base.

[ariel60]

Sur 2),en remplaçant x par 2,je trouve que alors

Donc la condition est alors ,c'est bien ça?puisque les vecteurs de Im fn,2 s'écrivent dans r,r est une base de l'image si r appartient à l'image
Alors dim
sur3), j'ai


alors f3,2(t) est egale à 0 si et seulement si x=y=z=0.Alors t(0,0,0) dans R3?
Cordialement.

[ariel60]

Maintenant,je trouve aussi une autre condition que si t appartient au noyau,alors x=-y-z ce qui entraine que kerf3,2={<(-1,1,0), (-1,0,1)}

[ariel60]

Pour la suite j 'ai dans 3)b)Soient u=(1,1,1), v=(1,0,1),w=(-1,0,1).Montrer que B1={u,v,w} est une autre base de R3.
c)Déterminer N matrice associée à f3,2 dans B1.

Dans 3)b)j'ai juste calculé le rang du système formé par u,v,w qui est egal a 3.est-ce suffisant?
Dans c),dois-je calculer les f(u), f(v), f(w) dans B1 ou dans la base canonique de R3?
Cordialement.

[Yorgan]

Bonjour,

Pour la 3)b), c'est suffisant, mais peux-tu expliquer pourquoi? (si tu doutes de ta réponse, mieux vaut tout écrire, tu iras plus vite par la suite)
Pour la 3)c), l'implicite est que lorsque qu'on considère un endomorphisme et qu'on demande sa matrice dans une base B, il s'agit de la matrice obtenue en prenant pour base de départ B et pour base d'arrivée B. (Mais il faut bien toujours 2 bases pour écrire une matrice associée à une application linéaire.) Donc, trouve les coordonnées des f(u), f(v) et f(w) dans B1.

[zygomatique]

salut



donc



en additionnant ces n égalités et puisque f est un endomorphisme :



il suffit de remplacer x par 2 ...

[ariel60]

Pour 2), d'après la définition de l'image
Alors j'ai f_n,2(u)= r
Alors r=s=e1+e2+...+en (?)
Cordialement.

[ariel60]

Bonjour,

Pour la 3)b), c'est suffisant, mais peux-tu expliquer pourquoi? (si tu doutes de ta réponse, mieux vaut tout écrire, tu iras plus vite par la suite)

Il suffit de montrer que B1 est libre, puisque rang=3,les vecteurs sont linéairement indépendantes alors B1 est une base de R3.
Cordialement.