Endomorphisme nilpotent.. !

[sandrine_guillerme]

Bah voilà,

Merci Rain' d'avoir tranché :)

[sandrine_guillerme]

Alors je repose ma question sur le polynome minimal ?

Qu'en penses tu Rain' ?

[sandrine_guillerme]

EUh , au fait ça j'avais compris bien entendu
mais je parlais pas de ça ,

je parlais di post de la haut ,

Revenons à la question du polynome minimal,

pour tout dire, j'ai toujours du mal à utiliser le procédé d'élimination des polynomes annulateurs, je fais appel à vous pour voir s'il n'yaurait pas de méthode sandard en fait,

et pour la remarque d'Alpha, (voir les puissance des matrices) ça nous donne un polynome annulateur, il faut chercher ses racine et proceder par élimination, mais on tombe toujours sur le même problème ..

donc j'aimerais savoir ce que vous utilisez comme méthode ?

Merci

[sandrine_guillerme]

- Soit une matrice nilpotente d'ordre p, son polynôme minimal est X^p.

ou (-1)^nX^n tout dépend de quelle langue parles tu :lol2:

sinon pour ton info y a une équivalence entre les deux c'est une CNS.



pour le reste c'est correct, certes mais

- Si A est diagonalisable, le polynôme minimal est le polynôme caractéristique ( c'est juste une intuition, je l'ai jamais prouvé mais je pense que ça marche).

ay .. là je ne suis sur,
contre exemple considère la matrice identité

[sandrine_guillerme]

Notre prof nous avait dit que le coefficient dominant du polynôme minimale était toujours 1 par définition.

exact, par définition il est unitaire,

mais ce que j'adore dans les polynomes annulateurs c'est le thm de Hamilton Cayley, et algèbristes sont sadiques je trouve, je ne comprends pas pourquoi ils le mettent qu'à la fin, alors qu'il permet de trop nous simplifier la vie, mais bon , mieux vaut tard que jamais quoi.. !

sur ce Bonne nuit ..

[Joker62]

Beuh y'a pas grand chose à rajouter, tout à était dit j'ai l'impression
Juste qu'avec le polynôme minimal, il y a la CNS que ce polynôme soit scindé pour que l'endomorphisme soit diagonalisable.

Sinon j'avoue avoir moi aussi une admiration pour ce théorème de Mrs Cayley and Hamilton.

C'est marrant en fait, qu'une seule phrase, ai autant de pouvoir lol :)

[thedream01]

Bonjour tout le monde!
J'ai juste une remarque par rapport à la solution proposée par Rain pour l'exercie que j'ai posé hier. La question est existe-t-il une matrice dans Mn(R) tq son polynome minimal soit:1+X^2. et non pas dans M2(R)...Donc...

[thedream01]

Moi, j'aurais plutot tendance à dire que lorsque n est pair, on peut trouver une telle matrice, mais lorsque n est impair, je ne pense pas!

[thedream01]

évident, je ne sais pas! tu as trouvé une démonstration?

[sandrine_guillerme]

Bonjour à vous tous : )

bienvenue joker parmi nous lol

Rain' elle est correct ta démonstration, me semble t il !


EDIT : ZUT DE ZUT CLAVIER !!!

[thedream01]

Oui, oui, ça marche!

[sandrine_guillerme]

Tiens, tiens

tant qu'on y est,

on parlait tout à l'heure du théoréme de Hamilton Cayeley (ou l'inverse :lol2:)

heu dites, avez vous compris la démonstration , j'ai cherché sur wiki, et je la trouvé étonnement courte et incompréhensible !

[Alpha]

La preuve via les endomorphismes cycliques?

[sandrine_guillerme]

je parlais de la matrice compagnon,

mais si la preuve avec l'endo cyclique de parait plus simple, je te demanderais de me donner une idée qui me permettrait de débloquer stp ..

[Alpha]

Voici le résultat de la recherche google : Cayley-Hamilton cycliques :

http://biland.ouvaton.org/IMG/pdf/tdmp_2004-11-12.pdf

Je crois qu'il y est aussi question de matrice compagnon au cours de la démo, mais en tout cas, la démarche de la preuve par les endomorphismes cyclique se trouve dans ce document, il y a les grandes lignes, ça devrait te donner les indications qu'il te faut :lol4:.

[sandrine_guillerme]

Ah, c'est exactement ce que je demandais ..


Je te remercie .

[Alpha]

Mais il n'y a pas de quoi :we:

:lol4: