Endomorphisme nilpotent.. !

[nemesis]

pour la premier implication A nilpotente implique tr(A^k)= 0

essaye avec ceci
A=P T P^-1 (T triangulaire) ayant des zero sur la diagonale.....

[sandrine_guillerme]

Oui c'est exact,

comme Rain' l'avait dis avant,

elle est semblable à une matrice triangulaire (sup ou inf) stricte) donc les puissance aussi bien entendu, merci pour cet exo nemesis

[sandrine_guillerme]

Revenons à la question du polynome minimal,

pour tout dire, j'ai toujours du mal à utiliser le procédé d'élimination des polynomes annulateurs, je fais appel à vous pour voir s'il n'yaurait pas de méthode sandard en fait,

et pour la remarque d'Alpha, (voir les puissance des matrices) ça nous donne un polynome annulateur, il faut chercher ses racine et proceder par élimination, mais on tombe toujours sur le même problème ..

donc j'aimerais savoir ce que vous utilisez comme méthode ?

Merci

[nemesis]

mais attend

dans equivalence il y'a deux sens le premier n'est pas trop sorcier

c'est le deuxieme qui est plus fin

pour commencer :Pour la réciproque il faut trigonaliser A dans C (même si K=R)

Ecrire à quoi correspond le système d'équation tr(A) = Tr(A²) =...= Tr(A^n) = 0

......et tu continue

[thedream01]

je connais un exercice sympas sur le polynome minimal, ça vous dit?

[sandrine_guillerme]

pour moi c'était fini, l'autre implication on l'avait fait en tant qu'application du cours, la clé c'est de voir un déterminant de Vandermonde , la matrice associée est inversible quitte donc à déduire du fait que la trace est nul il y a une seule valeur propre qui est nul on a donc le polynome car X^n (ou -X^n) ça dépend quelle notation tu utilise,

ça te va maintenant j'espère?

[sandrine_guillerme]

je connais un exercice sympas sur le polynome minimal, ça vous dit?

On attends la réponse de nemesis après moi je veux bien stp.

[thedream01]

excusez moi, je croyais que c'était fini aussi...

[nemesis]

ok ; c'est bon.c'est mon cerveau qui me joue des tours .moi j'vai m'coucher .et a demain pour de nouvelle aventures (je crois vraiment que je dois aller dormir)
ciao

[thedream01]

bonne nuit nemesis

[sandrine_guillerme]

Bonne nuit nemesis,

thedream tu peux poster ton exo stp?

[thedream01]

Alors, c'est:
Existe-t-il dans Mn(R) une matrice de polynôme minimal X^2 +1 ?

[nemesis]

bonne nuit a vous aussi

mais pendant que je ferais dodo;je vous laisse ceci:
soit V un espace prehilbertien reel et soit x une valeur propre d'un operateur lineaire T sur V
montrer :si T*= alors |x|=1.
et si T=s*s avec s non singuliere alors x est un reel positif

allez salut

[sandrine_guillerme]

bonne nuit a vous aussi

mais pendant que je ferais dodo;je vous laisse ceci:
soit V un espace prehilbertien reel et soit x une valeur propre d'un operateur lineaire T sur V
montrer :si T*= alors |x|=1.
et si T=s*s avec s non singuliere alors x est un reel positif

allez salut

heu .. ceci, n'a aucun rapport avec la nilpotence il me semble .. si c'est le cas, ça aurait été mieux d'ouvrir un nouveau post tu sais ..

thedream je réfléchis à ton exo..

[sandrine_guillerme]

Alors, c'est:
Existe-t-il dans Mn(R) une matrice de polynôme minimal X^2 +1 ?

ben bien sur que oui .. !

[thedream01]

Et pourquoi ça?

[sandrine_guillerme]

et pourquoi pas ? :lol2:

plus sérieusement,

bah un voici en exemple f^2 = - id
le polynome caractéristique est le même que le polynome minimal, et il n'est pas sciendé dans R ..

[thedream01]

Donc pour toi, il est évident de pouvoir trouver une matrice A réelle telle que:
-1 0 = A² ?
0 -1

[sandrine_guillerme]

euh.. tu me fais douter là ..

[sandrine_guillerme]

mais je suis sur qu'il en existe, j'ai pas dis que c'est évident attention ..

pourquoi t'en penses quoi toi?