Vrai ou faux

[ghirlandaio]

Bonjour à tous !

J'ai un vrai et faux, j'ai répondu mais j'ai du mal avec la justification. Je ne trouve absolument pas de contre-exemple pour la première question, bien que je sens que c'est faux.

Voici l'énoncé :
Enoncé


Mes réponses :

1) Faux, car si f(x) = 5x²+2x+1 (en fait c'est la seule question qui me bloque pour trouver un contre-exemple, je ne trouve pas de limite en -INF et dire que f est décroissante...)

2) Faux, car si f(x) = e^(-x), la fonction est bien strictement croissante mais limf(x) (en +inf) = 0 et non à -INF

3) Faux, car si f(x) = x² – 5x, lim f(x) (en+inf) = +inf
Calcul de delta et tableau
Or f(x) est positif sur tel intervalle

4) Faux, car si f(x) = (2x-1)/(x-1) et g(x) = (2x+1)/(x-1)
Nous constatons que f(x)<g(x)
Lim f(x) = lim g(x) = 2
Nous constatons que lim f(x) n'est pas <lim g(x)


5) Faux, car si f(x) = cos(x), il n'y a pas de limite en l'infini.
Il n'y aura donc pas de limite finie l en +INF

[capitaine nuggets]

Bonjour à tous !

J'ai un vrai et faux, j'ai répondu mais j'ai du mal avec la justification. Je ne trouve absolument pas de contre-exemple pour la première question, bien que je sens que c'est faux.

Voici l'énoncé :
Enoncé


Mes réponses :

1) Faux, car si f(x) = 5x²+2x+1 (en fait c'est la seule question qui me bloque pour trouver un contre-exemple, je ne trouve pas de limite en -INF et dire que f est décroissante...)

2) Faux, car si f(x) = e^(-x), la fonction est bien strictement croissante mais limf(x) (en +inf) = 0 et non à -INF

3) Faux, car si f(x) = x² – 5x, lim f(x) (en+inf) = +inf
Calcul de delta et tableau
Or f(x) est positif sur tel intervalle

4) Faux, car si f(x) = (2x-1)/(x-1) et g(x) = (2x+1)/(x-1)
Nous constatons que f(x)<g(x)
Lim f(x) = lim g(x) = 2
Nous constatons que lim f(x) n'est pas <lim g(x)


5) Faux, car si f(x) = cos(x), il n'y a pas de limite en l'infini.
Il n'y aura donc pas de limite finie l en +INF

1) C'est effectivement faux, mais prend plutôt une fonction de la forme , . Choisis les coefficient de telle manière que l'équation ait deux solutions distinctes. Cela te permettra d'alterner le signe de la dérivée et donc la croissance et décroissance pour la fonction .
Enfin, et donc il faudra prendre .

2) Correct :+++:

3) Ok :++:
Une chose que beaucoup d'élèves semble ignorer : on peut tout à fait construire une fonction en lui donnant une expressions sur différents intervalles. Je m'explique. tu peux par exemple définir une fonction par une formule sur puis une autre formule sur ; la fonction n'étant pas supposée continue, tu n'auras donc pas à te préoccuper de savoir si . par exemple :

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Remarque : Si on veut une formule générale, on peut également penser à utiliser des fonctions trigonométrique comme par exemple, la fonction "sin". On peut ainsi prendre :+++:

4) Vrai, tu as bon.
Voici mon point de vue : une idée consiste à prendre une fonction strictement monotone, convergeant vers une réel et une fonction obtenue comme une translation de suivant un vecteur "horizontal". Prend par exemple et considère la fonction qui n'est ni plus ni moins que la fonction translatée par le vecteur .
Moralité, le passage à la limite transforme des inégalités strictes en inégalités larges.

5) Pour remplir toutes les hypothèses, il faudrait que tu donnes une expression des fonctions et , puis vérifier que les hypothèses sont effectivement bien satisfaites (après je ne sais pas, tu l'as peut-être fait au brouillon) :++:
Dans ton contre-exemple, tu propose la fonction "cos", mais as-tu justifié qu'elle n'admettait pas de limite en l'infini ? Ca n'est pas évident dans le sens où, on peut exiger une preuve de ça.

[mathelot]

bjr,

pour la (1) ,
tend vers quand x tend vers
change une infinité de fois de signe

[mathelot]