Séries

[bneay]

Salut tt le monde

Soit une suite réelle strictement positive.

Posons

Montrer que les séries et sont de même nature.

[Monsieur23]

Aloha,

Si ;) an, diverge, "vers quoi" elle diverge ? Que peux-tu dire alors de bn/an ?

[adrien69]

Ça va aider ça ? Je n'en ai pas vraiment l'impression personnellement.

La question c'est plutôt : et si la série des diverge, à quoi est équivalent (parce que ici la négligeabilité n'est pas dans le bon sens) ?

[Monsieur23]

Exact, je me suis gouré dans la domination -_-'

Donc, si ;) an converge, que peux-tu dire de la limite ? Donc de bn/an ? Donc de ;) bn ?

[Ben314]

Salut,
Posons et .
Les suites et sont croissantes donc convergentes ssi elles sont majorées.

donc :
Si est majorée (par ), alors est majorée (par ).

donc d'où (récurrence) et .
(noter que )
Si convergente vers , alors lorsque donc il existe tel que d'où (T.A.F.) et donc .
Or
donc la suite est bornée donc la suite aussi.

Remarque : En prenant voire , on peut voir que dans ces cas où la série diverge, la série diverge aussi, mais beaucoup moins vite, plus précisément, .
Cela explique la relative complexité de la partie " C.V. C.V." qui équivaut évidement à " D.V. D.V."
Il y a sans doute plus simple, mais a mon avis, il faut forcément comparer avec ...