Produits scalaires

[Pioux]

Bonsoir tout le monde,

J'ai un exercice pour demain et je n'y arrive pas.

ABC est un triangle, G son centre de gravité et (C) le cercle circonscrit à ABC de centre O et de rayon r. ( / signifie la flêche de vecteur)

1) Démontrer que, pour tout point M du plan on a : MA² = MG² + GA² - 2/GM./GA

Pour cette question j'ai commencer à partir de la deuxieme expression en faisant la relation de Chasles soit ca na rien donner soit je n'ai pas trouvé.

2) Exprimer de même MB² et MC². En déduire que, pour tout point M du plan, on a la relation (1) : MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC²

3) Ecrire la relation (1) dans les cas suivants : M = A, M = B, M = C et M = O
En déduire que : AB² + AC² + BC² = 9(r²-OG²) avec OGProuver que la somme AB² + AC² + BC² est maximale si et seulement si ABC est équilatéral.

C'est pas un exercice facile, je trouve. Merci d'avance à tous ceux ou celles qui me donneront des explications afin que je puisse faire mon exercice.

[Dr Neurone]

Bonsoir Pioux
1) MA² = (GA-GM)² continue
Meme principe pour MB² et MC²

[Pioux]

Merci beaucoup pour cette aide, j'ai réussi finalement c'était simple. Mais j'ai un soucis pour la somme de MA² + MB² + MC² je trouve que c'est égal à 3MG² + GA² + GB² + GC² - 2GM.GA - 2GM.GB - 2GM.GC Je ne vois pas comment je peux me débarasser du reste.

[Dr Neurone]

3MG² + GA² + GB² + GC² - 2GM.GA - 2GM.GB - 2GM.GC =
3MG² + GA² + GB² + GC² - 2GM(GA +GB +GC)
or (GA +GB +GC) =0

[Pioux]

Ah ben oui j'ai pas pensé à factoriser la fin. Par contre pour la question trois je vois pas ou est ce qu'il faut que je remplace le point M par A,B,C et O. Dans MA² + MB² + MC² ?

[Dr Neurone]

Ecris MA², MB² et MC² de la question qui précède , puis tu réponds .

[Pioux]

J'ai un doute mais est ce 3BG² + GB² = 4BG² ca revient au meme ou pas ?
ou je doit faire 3BG² - BG² = 2BG²

[Dr Neurone]

C'est kif kif car c'est un carré (BG²=GB²)
Je trouve que c'est un peu long !

[Pioux]

Quoi qui est long ?