Problème de dérivation

[geogeo2]

bonsoir
j'aimerai que vous m'aidiez à résoudre un exercice de math pour un devoir maison.

en voici l'énnoncé
soit un cylindre de volume fixé V et x le rayon de sa base
1. Exprimer la hauteur h(x) et son aire totale A(x)
2. Etudier les variations de la fonction A sur ]o;+[, puis montrer qu'elle admet un minimum en un point tel que

3.En déduire que, pour une boite de conserve cylindrique de volume fixé, la surface de métal est minimale ( et donc le coût est minimal ), lorsque la hauteur est égale au diamètre de la base (e n négligeant les soudures)

alors voilà mes réponses
1.




xh
*


2.

C'est un quotien rationel il est donc dérivable sur son ensemble de définition



or
A' est du signe de -2V
mais V>0
-2V<0 car -2<0

donc A' est négative sur
donc comme A' est négative sur
la fonction A est décroissante sur
après j'ai calculer
et j'ai fait
et j'ai pour solution


voilà où j'en suis dois-je calculer A(x) ou A(x^3)
j'ai besoin de renseignements
pour la 3 aussi mais peut-etre j'y verrai plus clair lorque la 2 sera résolue

merci d'avance bonne soirée

[bombastus]

Bonsoir,

1.je suis d'accord avec toi pour le volume mais pas pour l'aire... dans l'aire totale, il y a l'aire latérale et les aires des 2 bases, j'ai l'impression que tu n'as calculé que l'aire latérale (et encore ta 1ere ligne et ta 2eme ligne ne correspondent pas pour A)

[geogeo2]

ah oui je suis désoler jai oublier le rayon R=x
ce serai 2 aire de la base + aire latérale

[geogeo2]

cela me donne alors (2Pix^3+2V)/x

[bombastus]

Je suis d'accord, et ensuite?

[geogeo2]

bon après je calcul sa dérivée
A est une fraction rationelle donc dérivable sur son ensemble de definition
DA=R*+
A'(x)=(4Pix^3+2V)/x^2
x^2>0
donc A' est du signe de 4Pix^3+2V
or 4>0 et Pi>0
donc 4Pi>0
et 2>0 et V>0
donc 2V>0
alors 4Pi+2V>0
donc A' est du signe de x^3
A' est donc négative sur
A' est positive sur
donc A est croissante sur

[bombastus]

Je ne trouve pas cela pour A' (presque mais pas tout à fait), tu as bien fait la dérivée de u/v?

[geogeo2]

dérivée de u/v
c'est
(u'v-uv')/v^2
ah oui pardon finalement je trouve
(4Pix^3-2V)/x^2
mais le signe et de A'
et donc le sens de variation de A ne change pas
puisque V>0
et que 4Pi>2
donc 4Pi-2>0
4Pi-2V>0

[bombastus]

Pour la dérivée, ok.

Par contre tu ne peux pas étudier le signe de 4Pix^3-2V comme tu l'as fait (c'est faux)
mais je n'arrive pas à trouver une façon simple d'étudier le signe de 4Pix^3-2V (qui doit être négatif puis positif)

[geogeo2]

oui mais un volume ne peut pas etre négatif
puis qil est le produit de trois longeurs qui ne peuvent etre négatives

[bombastus]

Non, je te parle du signe de la dérivée,

(4Pix^3-2V)/x^2 est du signe de (4Pix^3-2V) puisque x^2 est positif pour tout x

et tu dois étudier le signe de 4Pix^3-2V sur [0;+infini[

Saurais-tu résoudre l'inéquation :
4Pix^3-2V> 0 sur [0;+infini[

[geogeo2]

bon jusque là on a donc jai un tableu de signe de ma dérivée et donc le sens de variation de A sur 0 + infini

ensuite ai-je le droit de calculer A(x0^3)
et de prendre la racine cubique de A(x0^3)

et je ne voit pas comment montrer que ce minimum local est atein pour h=2x (soit le diamètre du cercle)

merci d'avance