DM de math Tle S Méthode d'Euler

[alody]

Salut !
J'ai un DM de math et je bloque un peu dessus, pourriez vous m'aider svp ?

Voici l'énoncé :

Un ballon stratosphérique est constitué d'une enveloppe gonflée d'un certain volume d'hélium, d'une nacelle et de divers capteurs et instruments permettant de transmettre au sol les mesures effectuées. L'ensemble a pour masse m.
On se place dans un référentiel terrestre où l'on considère un axe (Oz) vertical, orienté vers le haut. L'origine O représente la position du bas à la nacelle à l'instant t=0, instant auquel on lâche le ballon sans vitesse initiale.
Le temps t est exprimé en secondes et les distances en mètres.
On nomme vz(t) la composante de la vitesse sur l'axe (Oz) c'est à dire la vitesse ascentionnelle du ballon à l'instant t (t>= 0)

Modélisation
En faisant différentes hypothèses, on peut modéliser la force de frottement Fr de l'air sur l'enveloppe Fr = kv² où k est un coefficient qui dépend du ballon.
Le bilan des forces projeté sur l'axe (Oz) permet d'obtenir la relation :
=-vz² + (
où V désigne le volume de l'enveloppe, supposée sphérique de rayon r, et 0 la masse volumique de l'air.
On prendra pour l'application numérique :
g0;)9,81m.s^-2, 0=1,22kg.m^-3, m= 8,00kg, r=1,30m et k=2,91kg.m^-1

1/ Ecrire une équation différentielle dont vz est solution

Perso je pensait à Fr = vz²

2/ on utilise maintenant la méthode d'Euler avec un pas de 0,25s
a. Montrer que l'approximation affine de vz à l'instant t est :

vz(t+;)t);) vz(t) + (-k/m vz²+ (;)0V/m -1)g0);)t

b/ On appelle vn la vitesse à l'instant t= n*0,25 secondes

Montrer que vn+1 vn - 0,091vn² + 0,99

c/ Représenter par une courbe approchée l'évolution de la vitesse vz en fonction du temps pour 0;)t;)3

d/ Estimer une valeur approchée de la "vitesse limite" du ballon


Bon alors moi je pensait qu'à partir de ce qu'on nous disait à la question 2a on pourrait déduire l'équation différentielle mais je suis pas sure !

On sait que f(a+h) = f'(a)*h+f(a)

f(a) c'est vz(t)
f'(a) c'est (-k/m vz²+ (;)0V/m -1)g0)
et h c'est t

(-k/m vz²+ (;)0V/m -1)g0) = k*vz

Vous pourriez m'aider à faire cet exo svp ? Sans la question 1 je ne vois pas comment faire le reste...

[Dominique Lefebvre]

Bonjour,

Pour une fois, je vais faire de la pub pour mon site... Tu trouveras une page consacrée à la méthode d'Euler sur [url="http://www.tangenteX.com"]www.tangenteX.com[/url] sous la rubrique "Expériences de physique numérique".

[alody]

lol je vais voir ça, merci =)

[alody]

Bonjour,

Pour une fois, je vais faire de la pub pour mon site... Tu trouveras une page consacrée à la méthode d'Euler sur [url="http://www.tangenteX.com"]www.tangenteX.com[/url] sous la rubrique "Expériences de physique numérique".

Je comprend rien

[Dominique Lefebvre]

Je comprend rien

Bon, tu peux être un peu plus précise, qu'est-ce que tu ne comprends pas?
Pour la question 1), quel est ton raisonnement ?

[alody]

dvz/dt+(k/m)vz² = [(poV/m)-1]go

[Dominique Lefebvre]

dvz/dt+(k/m)vz² = [(poV/m)-1]go

ça c'est l'équation différentielle, qu'on te donne. On te demande d'écrire une équation dont vz est solution, qu'est-ce que cela veut dire?
pourquoi penses-tu à Fr = vz² ? Et d'ailleurs, qu'est-ce que cela veut dire ?

[alody]

Déjà je comprend pas comment on peut écrire une équation différentielle avec tout ce charabia !!
Et de plus, je ne vois pas comment prouver l'approximation addine de vz à l'instant t ....

[alody]

ça c'est l'équation différentielle, qu'on te donne. On te demande d'écrire une équation dont vz est solution, qu'est-ce que cela veut dire?
pourquoi penses-tu à Fr = vz² ? Et d'ailleurs, qu'est-ce que cela veut dire ?

ben je pensait à Fr = kvz² car dans l'énoncé ils disent qu'on peut modéliser la force de frottement de l'air sur l'enveloppe par cette équation... et comme y'avais k ça me faisait penser à une eq. différentielle
Ensuite je vois pas ce qu'ils veulent dire par "une équation dont vz est solution"

[Dominique Lefebvre]

Déjà je comprend pas comment on peut écrire une équation différentielle avec tout ce charabia !!
Et de plus, je ne vois pas comment prouver l'approximation addine de vz à l'instant t ....

As-tu essayé de retrouver cette équation en appliquant la seconde loi de Newton dans le référentiel qui va bien... ça t'aiderait à comprendre d'où vient cette équation et son "charabia".
Ton EDO (equation différentielle, c'est long) est de la forme dv/dt = A + B*v². Elle est très classique (c'est la forme que je traite sur mon site).

As-tu appris et compris le cours sur la méthode d'Euler?
L'approximation, tu la retrouves en reprenant la définition de la dérivée, mais à la mode physicienne, c'est à dire en oubliant le passage à la limite... Tu considères simplement dt comme petit. c'est pour cela qu'on l'écrit plutôt

[alody]

As-tu essayé de retrouver cette équation en appliquant la seconde loi de Newton dans le référentiel qui va bien... ça t'aiderait à comprendre d'où vient cette équation et son "charabia".
Ton EDO (equation différentielle, c'est long) est de la forme dv/dt = A + B*v². Elle est très classique (c'est la forme que je traite sur mon site).

A vrai dire l'idée ne m'est même pas venue d'appliquer la 2de loi de Newton

F=mg c'est ça ?!!

y' = ay+b, f(x)= ke^ax - b/a

As-tu appris et compris le cours sur la méthode d'Euler?
L'approximation, tu la retrouves en reprenant la définition de la dérivée, mais à la mode physicienne, c'est à dire en oubliant le passage à la limite... Tu considères simplement dt comme petit. c'est pour cela qu'on l'écrit plutôt

Si j'ai bien compris dt = ?

JJ'ai rien compris au cours sur la méthode d'Euler...

[rugby09]

salut!,

tu est bloqué a la question 1 toujours?

[Dominique Lefebvre]

A vrai dire l'idée ne m'est même pas venue d'appliquer la 2de loi de Newton

F=mg c'est ça ?!!

Bonjour,
pas exactement ... La seconde loi dit que la somme des forces appliquées au système, ici assimilé à un point, est égal au produit de la masse par l'accélération, qui n'est pas forcément g...

y' = ay+b, f(x)= ke^ax - b/a

Et donc...

Si j'ai bien compris dt = ?

JJ'ai rien compris au cours sur la méthode d'Euler...

le signe égal est abusif, mais c'est l'idée. Si tu es prêtes, on peut reprendre ensemble la méthode d'Euler...

[rugby09]

je vien de faire cet exo, si jamais ca peut t'aider:
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=72618