Logique

[Anonyme]

si x appartient a l'ensemble N* montrez que : 1+1/2+1/3+...................+1/x
n'appartient pas a l'ensemble N.
et merci d'avence.

[Chimerade]

Soit P le plus grand nombre premier qui soit inférieur ou égal à x.
Posons :

A = 1+1/2+1/3+...+1/(P-1)+1/(P+1)+................+1/x
B = 1/P

...de manière que A+B = 1+1/2+1/3+...................+1/x

A est un rationnel dont la fraction irréductible est p/q. Il est clair que P ne divise pas q, puisqu'il n'est facteur d'aucun des nombres 2,3,...,p-1,p+1,...,x
Alors :
A+B = p/q+1/P = (pP+q)/Pq
Pour que cette fraction soit simplifiable en un entier, il faudrait déjà que le numérateur soit divisible par P. Or q ne l'est pas, et Pp l'est, donc Pp+q ne l'est pas. Quoi que l'on fasse, q restera au dénominateur de cette fraction. A+B ne peut être entier.

Je pense qu'il y a d'autres méthodes ; peut-être peut-on s'en tirer en se focalisant par exemple sur le facteur 2 au dénominateur, et en montrant qu'il y est nécessairement une fois - enfin, peut-être que non !

[Anonyme]

svp aidez moi je n'ai recu aucun solution exacte st simple

[Chimerade]

svp aidez moi je n'ai recu aucun solution exacte st simple

Pas de quoi !

Tu veux dire que ma solution n'est pas exacte ? ou pas simple ?

Jusqu'à preuve du contraire je continuerai à penser qu'elle est exacte ! Mais je ne suis pas ennemi de la discussion : si quelqu'un pense qu'elle est fausse, merci de me le montrer !

Quant à la simplicité, je ne la trouve pas si compliquée, mais bon ...

[yos]

On peut effectivement prouver que

1+1/2+1/3+...................+1/x

est le quotient d'un nombre pair par un nombre impair et donc ne saurait être entier.
Par récurrence c'est loin d'être évident. Par contre une preuve lumineuse est parue sur ce forum il y a peu de temps (Galt peut-être).

Je trouve ta preuve très bien, mais l'affirmation

"Il est clair que P ne divise pas q, puisqu'il n'est facteur d'aucun des nombres 2,3,...,p-1,p+1,...,x"
est un peu rapide, notamment pour les entiers qui dépassent P, par exemple si x=2P.

Il y a le postulat (théorème) de Bertrand qui dit qu'il y a un nombre premier entre P et 2P
et qui résout le problème mais c'est une mauvaise idée en terminale!


De plus certains p sont des P mais c'est moins gênant.

[Chimerade]

Je trouve ta preuve très bien, mais l'affirmation

"Il est clair que P ne divise pas q, puisqu'il n'est facteur d'aucun des nombres 2,3,...,p-1,p+1,...,x"
est un peu rapide, notamment pour les entiers qui dépassent P, par exemple si x=2P.

C'est gentil de ta part de trouver que ma preuve est bien, mais malheureusement tu as raison ; non seulement, c'est un peu rapide, mais c'est loin d'être évident, et si ce n'est pas évident, c'est peut-être tout à fait faux !
A l'évidence au contraire, j'ai répondu trop rapidement... Jusqu'à preuve du contraire, je considère que ma démonstration est fausse.

Merci de me l'avoir fait remarquer...

[yos]

Ce qui m'a fait tiquer, c'est que ta preuve semblait valable pour n'importe quelle somme d'inverses d'entiers.

Pour Sami, je reproduis la preuve suivante qui fonctionne de la même façon que la tienne et qui doit être juste.

On considère la plus grande puissance de 2 parmi les entiers 1,2, ...,x.
On la note 2^k.
Parmi les entiers 1,2, ...,x, seul 2^k est multiple de 2^k. En effet s'il y avait un entier m2^k parmi les entiers 1,2, ...,x, avec m>1, il
y aurait aussi l'entier 2^(k+1), ce qui contredirait la maximalité de 2^k.

Ainsi, la mise au même dénominateur de 1+1/2+1/3+...................+1/x
amène un numérateur impair (celui de 2^k) et tous les autres pairs, donc la somme de ces numérateurs sera impaire, alors que le dénominateur commun est pair (dés que x>1).

[Chimerade]

Très juste...