Exercice Logique carré parfait

[ricaf]

Bonjour
Montrer que si 3n+1 est un carré parfait, alors n+1 est la somme de trois carrés parfaits

J'ai déjà vu cette méthode http://www.maths-forum.com/exercice-difficile-131047.php
Mais je ne l'ai pas très bien compris quelqu'un pourrait me l’expliquer avec la même méthode ou une autre
Mais en utilisant une démonstration pas disjonction des cas
Merci d'avance

[Sake]

Salut,

Où est-ce que Chan n'a pas été clair ? Je vais répéter ce qu'il a dit en mettant beaucoup de mots entre les lignes de calcul :

Puisque 3n + 1 est un carré parfait, il existe un entier a tel que 3n + 1 = a²
Alors 3n = a² - 1 = (a + 1)(a - 1)

Lemme : le produit de trois termes consécutifs est toujours un multiple de trois.
Démo : Soit b, par exemple, un entier > 1. Considérons (b - 1)b(b + 1). Si b - 1 = 0 mod 3, c'est fini. Si b - 1 = 1 mod 3, alors b + 1 = 0 mod 3. Si b - 1 = 2 mod 3, alors b = 0 mod 3. Dans tous les cas, un des trois termes est multiple de 3.

Puisque (a + 1)a(a - 1) est un multiple de 3, que (a + 1)(a - 1) est aussi un multiple de 3, on en déduit que a n'est pas un multiple de 3. S'il l'était, on aurait a = 0 mod 3, d'où a + 1 = 1 mod 3 et a - 1 = 2 mod 3, en bref cela empêcherait a + 1 et a - 1 d'être multiples de 3 et d'avoir un produit multiple de 3, 3 étant premier.

Donc on a forcément soit a + 1 multiple de 3, ou (non exclusif) a - 1 multiple de 3.

(1) Si a + 1 est multiple de 3,
Il existe k entier tel que a + 1 = 3k, d'où 3n = (a + 1)(a - 1) = 3k(3k - 2) = 9k² - 6k
i.e. n = 3k² - 2k, d'où n + 1 = 3k² - 2k + 1 = k² + k² + (k² - 2k + 1) = k² + k² + (k - 1)²

(2) Si a - 1 est multiple de 3,
Il existe k entier (on prend le même k, on ne perd pas en généralité car k est muet et les cas sont disjoints) tel que a - 1 = 3k, d'où 3n = (a - 1)(a + 1) = 3k(3k + 2) = 9k² + 6k
i.e. n = 3k² + 2k donc n + 1 = 3k² + 2k + 1 = k² + k² + (k² + 2k + 1) = k² + k² + (k + 1)²

Q.E.D.


Nota : Dans cette démonstration, on a trouvé la décomposition de n + 1 sous la forme d'une somme de trois carrés parfaits en utilisant l'astuce de la forme canonique. L'algorithme se résume à extraire autant de k² que possible avant d'apercevoir une expression de la forme a² + 2ab + b² ou a² - 2ab + b² se profiler.

[ricaf]

C'est bon j'ai compris parfaitement
Merci

Mais j'ai une dernière question après la correction en classe on a utilisé un autre cas qui est a= 3k+2 et on a pas pris a= 3k-1 j'aimerais savoir si il y a une différence entre les deux ou non

Sinon j'ai bien aimé la technique que vous avez poster , nous en classe on a pas précisé d’où on a tiré les cas on les a justes supposé contrairement à vous

[nodjim]

Il n'y pas de différence entre 3k+2 et 3k-1, sauf le k de départ qu'on fixe à 0 ou 1, si on veut rester dans les entiers positifs.
On peut noter:
3(k+1)-2=3k+1

[ricaf]

Ok merci .