Logique

[kabakas]

salut


Soit n et p deux entiers naturels tels que : n>=p.
Montrer que l’assertion suivante est vraie :
( np est pair ) ou ( 8 divise n^2 - p^2 ).

merci

[pascal16]

il faut un peu améliorer l'énoncé : (3;1) ne marche pas

[pascal16]

je rectifie( 3 ; 1 )marche et le cas 0 est bien évacué
n p tous deux impaires -> ils s'écrivent sous la forme 2p'+2 -> la différence de leurs carrés est divisible par au moins 4

[pascal16]

le café a pas du faire son effet, je sors

[nodgim]

" (np est pair) " : On parle du produit n * p ?

[Ben314]

Salut,
Sinon, en math., pour montrer que Truc => (Bidule ou Chose), très souvent, on suppose que Truc est vrai et que Bidule est faux et on montre que dans ce cas, Chose est forcément vrai (ce qui démontre bien l'implication demandée).
Une deuxième option, c'est évidement la contraposition qui, dans un cas pareil, consiste à supposer que Bidule ET Chose sont faux et à en déduire que Truc est lui aussi faux.
Mais dans ton exo., à mon avis, c'est la première option qui est la meilleure.

" (np est pair) " : On parle du produit n * p ?

Oui.

[beagle]

euh, je ne vois pas bien l'implication,
c'est quoi quimplique quoa?

pourquoi on dit pas le truc est vrai car son contraire est faux?
Genre: np impair ET 8 ne divise pas le machin est faux
donc assertion vraie

[Ben314]

Oui, j'ai un peu dit des c....
A la limite, ma mauvaise foi LÉGENDAIRE pourrait m’amener à dire que l'implication, c'est :
( n >= p ) => [ (np est pair) ou (8 divise n^2-p^2) ]
Mais c'est pas la meilleure façon de voir l'énoncé.

Mais bon, l'idée y est quand même dans le sens que pour montrer que P ou Q est vrai, on procède souvent en montrant que, si P est faux, alors Q est forcément vraie.

[beagle]

oui, je me suis demandé si c'était cela l'implique, = les conditions de base
puisque l'assertion est vraie dans un contexte et pas forcément vraie dans autre contexte, je me suis demandé si le contexte créait l'implication?

[LB2]

Bonjour,

commence par remarquer que la parité du produit np est :

- paire si n ou p est pair
- impaire si n et p sont impairs

Il reste donc à montrer que si n et p sont impairs, 8 divise n^2-p^2.

n^2-p^2=(n-p)(n+p), produit d'entiers pairs. donc 4 divise n^2-p^2. Mais cela ne suffit pas.

Pour aller plus loin montrer que 8 divise n^2-p^2, on raisonne modulo 4 :

n et p sont congrus à 1 ou 3 modulo 4.

S'ils ont la même congruence modulo 4, alors 4 divise n-p, 2 divise n+p, donc 8 divise n^2-p^2.
S'ils ont une congruence différence modulo 4, alors 4 divise n+p, 2 divise n-p, donc 8 divise n^2-p^2.