La logique

[Oussama]

soient x,y,z des nombres réels
Montrer que si
x+2xy+2z²=0
et
x²+4yz+2z=0 alors
2xz+y²+y+1#0

[Lostounet]

soient x,y,z des nombres réels
Montrer que si
x+2xy+2z²=0
et
x²+4yz+2z=0 alors
2xz+y²+y+1#0

Salut,
Voici une proposition à vérifier les calculs/le raisonnement car il se fait tard.
Supposons que et que et supposons qu'au contraire, nous ayons

La première relation s'écrit: 2z^2 = -x - 2xy, soit
La deuxième relation:

On déduit de ce qui précède que: x(-1-2y) est un nombre positif (car il est égal à 2z^2), donc x>=0 et -1-2y>=0 (donc y<=-1/2) ou bien x<=0 et -1-2y<=0 (donc y>=-1/2).

La seconde nous dit que z(-2-4y)>=0 donc z>=0 et (-2-4y)>=0 donc z>=0 et y<=-1/2
ou bien z<=0 et y>=-1/2

Or par la troisième, donc x et z ne sont pas de même signe.
Donc soit x>=0 et z<=0 soit x<= 0 et z>=0

Premier cas: x>=0 et z<=0 nous conduit à y<=-1/2 ET y>=-1/2 donc y = -1/2
Deuxième cas....

[anthony_unac]

Bonjour,
D'un point de vue purement formel, il s'agit de montrer que si "P et Q" alors "R".
Cela ressemble à une implication finalement mais je laisse les logiciens approfondir le sujet que je maîtrise que trop peu. Ceci dit, une vieille ruse de sioux consiste parfois à montrer une implication (qui semble difficile) en montrant sa contraposée : ce qui reviendrait ici à montrer que "si non R alors non P ou non Q"

[Oussama]

soient x,y,z des nombres réels
Montrer que si
x+2xy+2z²=0
et
x²+4yz+2z=0 alors
2xz+y²+y+1#0

Salut,
Voici une proposition à vérifier les calculs/le raisonnement car il se fait tard.
Supposons que et que et supposons qu'au contraire, nous ayons

La première relation s'écrit: 2z^2 = -x - 2xy, soit
La deuxième relation:

On déduit de ce qui précède que: x(-1-2y) est un nombre positif (car il est égal à 2z^2), donc x>=0 et -1-2y>=0 (donc y<=-1/2) ou bien x<=0 et -1-2y<=0 (donc y>=-1/2).

La seconde nous dit que z(-2-4y)>=0 donc z>=0 et (-2-4y)>=0 donc z>=0 et y<=-1/2
ou bien z<=0 et y>=-1/2

Or par la troisième, donc x et z ne sont pas de même signe.
Donc soit x>=0 et z<=0 soit x<= 0 et z>=0

Premier cas: x>=0 et z<=0 nous conduit à y<=-1/2 ET y>=-1/2 donc y = -1/2
Deuxième cas....

j'ai apprécié votre raisonnement, est ce que vous pouvez continuer ??

[Lostounet]

À toi de conclure si tu as bien compris.

[chan79]

Salut
On suppose qu'on a les trois égalités.
La première et la seconde égalités impliquent que

x+2xy<=0
4yz+2z<=0
soit
x(1+2y)<=0
2z(1+2y)<=0
cela donne
xz(1+2y)²>=0
et donc
xz>=0
or la troisième égalité nous donne quelle information sur xz ?

Ca ressemble bigrement à ce qu'a fait Lostounet

[Ben314]

Salut,
Ca me semble quand même un peu compliqué et surtout pas mal "astucieux" alors que ça peut se résoudre avec zéro astuce.
Une fois traité les cas particulier x=0 et z=0, les deux équations donnent et qui donnent donc .
On peut alors exprimer x,y et z en fonction de z seulement (avec des expressions affines) et 2xz+y²+y+1 devient un simple polynôme du second degré en z.

rouge = correction

[chan79]

donc .
On peut alors exprimer x,y et z en fonction de z seulement (avec des expressions affines) et 2xz+y²+y+1 devient un simple polynôme du second degré en z.

salut
il y a de l'astuce aussi, il me semble ...
et c'est plutôt .

[Ben314]

salut
il y a de l'astuce aussi, il me semble ...
et c'est plutôt .

Oui, concernant la racine cubique.
Après, concernant ce qui est une "astuce" et ce qui n'en est pas une, j'aurais quand même tendance à penser que, face à un système d'équations, si on commence à considérer comme "astucieux" de penser à écrire une/des équation(s) sous la forme "une variable = fonction des autres variables", ben dans ce cas, on va avoir un peu de mal à trouver quoi que ce soit qui ne "soit pas astucieux", non ?
Bref, plus con (= non astucieux) que de tenter de procéder par substitution dans un système d'équation, tu propose quoi toi ?