Fonction dérivée

[KroGaN]

voila je suis en première Gestion (STG) et nous sommes en train de faire les dérivés d'un nombre avec les tangentes,etc..

mais comme je suis curieux, j'aimerais savoir comment trouve-t-on la fonction dérivée d'une fonction, c'est à dire le calcul qu'il faut faire.
ça n'est pas à mon programme, mais ça m'aiderait beaucoup.
merci

[prody-G]

Salut

La seule formule de dérivation à savoir pour tout monôme (cad de la forme
f(x) = x^n ) : c'est f'(x) = nx^(n-1).

ex : f(x) = 1/x = x^(-1) --> f'(x) = -x^(-2) = -1/x²
A partir de celle-là tu retrouves toutes les autres.

Après pour des produits ou quotients de fonction, il y a d'autres formules à connaître...

[antoinou2958]

En fait ces calculs viennent d'une formule de départ assez simple :

Si h tend vers 0, alors f(a+h) tend vers f(a) mais comme on ne peut pas diviser par zéro (a + h - a = h ), on ne peut pas dire que h est égal à 0.
Après, on applique cette formule aux fonctions pour trouver leur dérivée comme ici : http://homeomath.imingo.net/deri6.htm .

[tigri]

bonsoir

en 1ère gestion, tu apprendras les dérivées selon la progression qui est prévue par ton programme : comprends plutôt les étapes de ton cours, qui préparent la suite

[KroGaN]

merci pour les fonction x^n j'ai compris, aussi non pour les fonction du type:
ax²+bx+c
ax²+bx
(Racine²)x
...

quelles peuvent être les formules?

[fonfon]

Salut,

je te donne les derivées des fonctions usuelles
f(x)=x -> f'(x)=1
f(x)=k -> f'(x)=0 où k est une constante
f(x)=x^n (n ds Z) -> f'(x)=nx^(n-1)
f(x)=cos(ax+b) -> f'(x)=-asin(ax+b)
f(x)=sin(ax+b) -> f'(x)=acos(ax+b)
f(x)=tanx -> f'(x)=1+tan²x
f(x)=rac(x) -> f'(x)=1/(2rac(x))

opérations et derivations sur les fonctions

f=u+v ->f'=u'+v' derivée d'une somme
f=ku -> f'=ku' produit par une constante
f=u*v -> f'=u'v+uv' derivée d'un produit
f=1/u -> f'=-u'/u² derivée de l'inverse
f=u/v -> f'=(u'v-uv')/v² derivée d'un quotient
f=u^n -> f'=nu'u^(n-1)
f=rac(u) -> f'=u'/(2racu)
f=sinu -> f'=u'*cosu
f=cosu -> f'=-u'*sinu
f=tanu -> f'=u'(1+tanu)

pour bien faire il faut marquer l'intervalle de validité où f est derivable

donc pour derivée un polynôme par exemple f(x)=ax²+bx+c

on utilise la dérivée d'une somme et la dérivée du produit par une constante et la derivée de x^n qui est n*x^n-1 donc

ici f(x)=2*ax^(2-1)+b*1+0=2ax+b

tu peux generaliser ce resultat pour n'importe quel polynôme

[KroGaN]

exemple f(x)=ax²+bx+c

on utilise la dérivée d'une somme et la dérivée du produit par une constante et la derivée de x^n qui est n*x^n-1 donc

ici f(x)=2*ax^(2-1)+b*1+0=2ax+b

tu peux generaliser ce resultat pour n'importe quel polynôme

je comprends la phase du ax², mais ensuite je bloque, pourrais-tu m'expliquer s'il te plaît?

[fonfon]

Re, je t'explique

f(x)=ax²+bx+c

on peut cosiderer que f est de la forme u+v+w donc la derivée d'une somme est u'+v'+w'

ici u(x)=ax² , v(x)=bx et w(x)=c donc

u'(x)=2ax tu as dit que tu avais compris
v'(x)=b*1=b car (bx)' c'est la derivée d'une cste*x or on sait que la derivée erst cste*(x)' et (x)'=1 donc (bx)'=b(x)'=b*1=b

w'(x)=(c)'=0 car la derivée d'une cste est nulle
donc en rassemblant tout f'(x)=u'(x)+v'(x)+w'(x)=2ax+b+0=2ax+b

[KroGaN]

excellent je te remercie!!!