Expliciter une suite

[Mukito]

Bonsoir,

Voila la suite:

Uzero = 0

U(n+1) = U(n) + n

Après avoir calculer les premiers termes de la suite, conjecturer une formule explicite de Un et la démontrer par récurrence.

Mon problème, c'est que j'arrive pas à conjecturer la forme explicite de la suite.

Dans l'attente d'une aide
merci

[Dinozzo13]

Salut !

Tu pourrais déjà commencer par nous donner ce que tu as obtenu pour u1, u2, u3, u4 et u5 si tu veux qu'on t'aide à établir une conjecture ^^

[Mukito]

Pas de problème ^^

De U(0) à U(6) par exemple : 0 ; 0 ; 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ;

[Dinozzo13]

Moi pour commencer je placerai sur un repère les points de coordonnées (n;u_n) et tu pourras remarquer que (peut-être) ces points appartiennent tous à une : parabole.
Or une parabole ayant pour équation ax²+bx+c=0, a non nul, tu prends trois points puis tu résous un système de trois équations à trois inconnues.

[Mukito]

Merci je vais essayer!

[Ericovitchi]

l'autre solution c'est de trouver la formule. Pour cela tu écris toutes les équations les unes en dessous des autres :
U(n) = U(n-1)+n-1
U(n-1)= U(n-2)+n-2
-------------------
U(2) = U(1)+1
U1 = 0
_____________________
tu ajoutes toutes ces équations membre à membre. Tu vois que tous les U vont se simplifier (sauf U(n)) car les mêmes sont à la fois à droite et à gauche donc on trouve :
U(n)=1+2+....+(n-1)
Pour calculer ça, soit tu connais la formule (les nombres triangulaires) soit tu la retrouves. Pour faire ça tu écris U(n) en inversant les termes :

U(n)=(n-1)+(n-2) +....+ 2 +1
U(n)= 1 + 2 +....+(n-2)+(n-1)
et tu additionnes membre à membre les deux lignes
2 U(n) = n + n + ....... + n et il y a (n-1) termes valant n donc = n(n-1)

et donc U(n)= n(n-1)/2
Voici donc la formule qu'il fallait conjecturer et démontrer par récurrence.

[Mukito]

Ah oui comme ça c'est bien plus facile et plus astucieux. :zen:

Et merci Gauss pour n(n+1)/2 !

Merci :++: