Expliciter une somme

[t.itou29]

Bonsoir,
Dans un exercice je dois calculer et. puis généraliser. J'ai calculé les deux premières mais je ne vois pas de lien à part le dénominateur. Pour calculer j'ai décomposé en éléments simples puis transformer de manière a utiliser le télescopage mais ça devient vite fastidieux quand il y plus de 3 termes au dénominateur. Y a-t-il une astuce ?

[paquito]

Sigma(1 à n)(1/(k(k+1))= 1/2+1/6+1/12+.....+1/n(n+1) ne se calcule pas sauf si on fait intervenir une intégrale pour l'encadrer. int(1; n)(1/(x(x+1))dx, intégrale que l'on ne sait pas calculer! Ce que l'on sait, c'est que cette intégrale est convergente, mais on ne connais pas sa limite. Je ne vois donc pas ce que tu peux faire. Attends la correction.

[t.itou29]

Sigma(1 à n)(1/(k(k+1))= 1/2+1/6+1/12+.....+1/n(n+1) ne se calcule pas sauf si on fait intervenir une intégrale pour l'encadrer. int(1; n)(1/(x(x+1))dx, intégrale que l'on ne sait pas calculer! Ce que l'on sait, c'est que cette intégrale est convergente, mais on ne connais pas sa limite. Je ne vois donc pas ce que tu peux faire. Attends la correction.

Pourtant j'ai bien trouvé et en comparant avec les valeurs obtenues en ajoutant bêtement terme à terme ça correspond (pour n=3 par exemple)

[chan79]

Pourtant j'ai bien trouvé et en comparant avec les valeurs obtenues en ajoutant bêtement terme à terme ça correspond (pour n=3 par exemple)

Quand on ajoute, ça se simplifie

[Sourire_banane]

Effectivement en télescopant il vient aisément que la première somme vaut n/(n+1)

[t.itou29]

Effectivement en télescopant il vient aisément que la première somme vaut n/(n+1)

Oui mais je vois pas mais alors pas du tout comment généraliser. Pour 1/k(k+1)(k+2) j'ai trouvé mais il n'y pas de relation évidente qui me me vient en tête. J'ai essayé avec wolfram pour 1/(k(k+)(k+2)(k+3)
(j'avais la flemme de le faire manuellement !) et ça donne et le terme me déconcerte un peu, je sais pas d'ou il vient ! Je me demande s'il y a vraiment une formule générale ?

[chan79]

c'est sans doute mieux de laisser sous forme d'une différence

1-1/n+1)

1/4 - 1/(2(n+1)(n+2))

1/18 - 1/(3(n+1)(n+2)(n+3))

1/96 - 1/(4(n+1)(n+2)(n+3)(n+4))

1/(k.k!)- .....

[paquito]

Pour la 2°somme, ça ne se simplifie pas du tout! D'accord pour la 1°somme, mais pour la 2°?

[t.itou29]

Pour la 2°somme, ça ne se simplifie pas du tout! D'accord pour la 1°somme, mais pour la 2°?

Si, si tu écris ça se télescope.

[t.itou29]

c'est sans doute mieux de laisser sous forme d'une différence

1-1/n+1)

1/4 - 1/(2(n+1)(n+2))

1/18 - 1/(3(n+1)(n+2)(n+3))

1/96 - 1/(4(n+1)(n+2)(n+3)(n+4))

1/(k.k!)- .....

Ah oui merci ! Faillait penser à laisser en différence ! (Et même je sais pas si j'aurais reconnu le k.k! ...)

[paquito]

[quote="t.itou29"]Si, si tu écris ça se télescope.[/QUOTOK!

OK!

[Sa Majesté]

Ou sinon

[Sa Majesté]

c'est sans doute mieux de laisser sous forme d'une différence

1-1/n+1)

1/4 - 1/(2(n+1)(n+2))

1/18 - 1/(3(n+1)(n+2)(n+3))

1/96 - 1/(4(n+1)(n+2)(n+3)(n+4))

1/(k.k!)- .....

En fin de compte, j'ai trouvé la même chose que toi par un autre biais

[chan79]

En fin de compte, j'ai trouvé la même chose que toi par un autre biais

salut
C'est OK alors.
Je précise que je n'avais fait qu'émettre une conjecture, au vu de ce qu'on trouve avec les premières valeurs de p. Je viens de voir qu'on peut la vérifier avec une récurrence sur n.

[Ben314]

Salut,
Je sais pas si c'est comme ça que vous faîtes, mais il me semble que le truc pas con, c'est d'écrire :

Si on pose alors en sommant l'égalité çi dessus de à et en constatant que le premier terme de gauche, c'est le même que celui de droite où est remplacé par (somme "téléscopiques") ça montre que :

C'est à dire que

[t.itou29]

Salut,
Je ais pas si c'est comme ça que vous faîtes, mais il me semble que le truc pas con, c'est d'écrire :

Si on pose alors en sommant l'égalité çi dessus de à ça montre que :

C'est à dire que

J'étais en train d'essayer de le prouver par récurrence comme l'a dit Chan79 mais là le résultat est immédiat !