Explication exponentielle

[Tomyyy]

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide pour que l'on me dise ce que représente les exponentielles par rapport à ln. On parle de "bijection" , de "réciproque" et tout mais jcomprend pas ce que ça signifie .. :hein:

[muse]

pour la réciproque:
ln(x) est la réciproque de exp(x) car

De maniere générale on dit que:
g est la réciproque de f si on a :
g(f(x))=f(g(x))=x

on note alors


pour la bijectivité:
on dit qu'une fonction est bijective si elle est a la fois surjective et
injectivehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Injectivit%C3%A9
Voila pas trouvé mieux pour expliquer. Les dessins disent tout

[Tomyyy]

Surjective et injective ça veut dire quoi? :hein:

[Tomyyy]

Waou , c'est un tout petit peu moins flou mais j'ai encore du mal à comprendre . =/

[Antho07]

Attention à bien définir tout ça correctement.

On considere les deux fonctions:



et




(les domaines sont importants)


alors f et g sont des bijections (admis ici)

(voir article de wikipedia, pose des questions si tu cromprends pas)


Si h:E---> F est une bijection, on peut définir une application réciproque, que l'on note
C'est l'unique application definit de F dans E qui vérifie

Pour tout x dans E


et pour tout y dans F




L'application réciproque c'est en faite l'application qui fait "marche arriere"
Avec h on associe à x , un element y.

associe à cet element y=h(x) , l'element x


(réciproquement, l'existence d'une application réciproque à une application h
implique la bijectivité de h.)


Revenons alors aux fonctions f et g.

Soit x dans , alors

Soit y dans alors

donc




et



(Et cela démontre au passage la bijection de ces deux fonctions)


EDIT:

J'ai utilisé un coup application, un coup fonction , comprend fonction partout si tu préferes (application est plus generale)

[muse]

Attention quand meme l'exponentiel est bijective de R dans R+*
Effectivement tout les x ont une image (e^x existe quelque soit x)

Mais e^x=-2 n'a pas de solution d'ou la précision de R dans R+*

Evidemment pour ln(x) c'est le contraire a savoir ln est bijective de R+* dans R:
l(x) existe que quand x est positive strictement et ln(x) peut prendre n'importe quelle valeur dans R

x= ensemble de depart
ln(x)=ensemble d'arrivé

[Antho07]

Si tu as du mal à visualiser ce que fais une application réciproque.

Considerons les ensembles

A={1,2,3}
B={4,5,6}


et f:A--->B
tels que
f(1)=5
f(2)=4
f(3)=6


Alors f est bijective.
En effet si , alors
d'où l'injectivité

f est egalement surjective. (Tous les elements de B ont un antécédant)

L'application réciproque est alors l'application :


tels que

[Huppasacee]

Bonsoir

sans tenir compte des domaines de définition ( cela est important , bien sûr , mais , dans le cas d'une explication primaire , on laisse cela pour l'étape suivante )

exemple de fonctions réciproque l'une de l'autre

Plaçons nous dans R+

si nous prenons la fonction x²
sa fonction réciproque est racine de x
car racine de (x²) = x : on est retombé sur x
une fonction ne peut avoir de réciproque que si c'est une bijection ( dans un domaine bien déterminé )
une bijection est telle qu'un nombre a un antécédent et un seul

la fonction 1/x dans R* a pour réciproque elle même
car 1/(1/x) = x

deux fonctions réciproques l'une de l'autre ont des graphes symétriques par rapport à la droite y = x dans un repère orthonormal


la fonction sinx , est sur -pi , + pi bijective ( croissante )et prend ses valeurs sur [-1;+1] , donc elle a une réciproque , qui est , ou Arcsin, définie sur [-1; +1] et prend ses valeurs dans [-pi; +pi]