Besoin d'explication pour un exercice sur les exponentielle

[pricsou]

Bonjour voilà je suis en train de travailler sur mon dm mais je bloque sur le 2ème exercice, voici l'énoncé:

soit f la fonction définie sur [0;+infini] par f(x)=(e^x-1)/x.
1) justifier que pour tout réel u, e^u>u+1 (on pourra se contenter d'une justification graphique).
Je ne vois pas comment justifier graphiquement. Pouvez vous m'expliquer?
2) En déduire que pour tout réel x,
a) e^-x+x-1>0 b) 1+(x-1)e^x>0
je ne comprend pas comment on résoud les inéquations avec l'exponentielle.
3)Démontrer alors que la fonction f est strictement croissant sur [0;+infini]

Merci d'avance de m'expliquer.

[Skullkid]

Bonjour, pour répondre à la question "justifier graphiquement que f(x) > g(x)", il te suffit de tracer les graphes de f et g sur un même dessin, et de mettre en évidence que le graphe de f est au-dessus de celui de g.

Pour la deuxième, on ne te demande pas de résoudre une inéquation, mais de démontrer une inégalité. Il te faut pour cela utiliser l'inégalité démontrée à la question 1.

[pricsou]

D'accord merci.
Et pour la question 3 il faut que j'utilise les inégalités?

[Skullkid]

Elles te serviront oui. Mais ne cherche pas forcément à partir des inégalités. Quelle est la méthode générale pour étudier le sens de variation d'une fonction ?

[pricsou]

IL faut calculer sa dérivée et ensuite chercher les nombres en laquelle elle s'annule.

[Skullkid]

Hmmm, ça ce serait plutôt pour la recherche d'extremums. Pour le sens de variation, ce qui est important c'est le signe de la dérivée. Et c'est là que risquent d'intervenir les inégalités démontrées plus haut.

[pricsou]

oui d'accord mais en quoi les inégalités vont me servir?

[Skullkid]

Etudier le sens de variation d'une fonction f, c'est étudier le signe de sa dérivée, c'est-à-dire établir des inégalités qui comparent f'(x) à 0. Calcule la dérivée de f, pour commencer.

[pricsou]

je trouve que la dérivée de f est f'(x)= (xe^x-e^x+1)/x²

[Skullkid]

C'est bien ça. Maintenant tu dois étudier le signe de cette quantité. Quel est le signe du numérateur ? Quel est le signe du dénominateur ? Quel est le sens de variation de f sur ?

[pricsou]

le numérateur est positif car on a vu que dans la question 2 que 1+(x-1)e^x>0
est que c'est égal à (xe^x-e^x+1) ainsi que le dénominateur vu qu'un carré est toujours positif.
Donc f est croissante sur [0;+infini]

Pour les inégalités de la question 2, je suis partie de e^x>x+1
donc e^x-x+1>0 mais après je suis bloqué.
Pourrais tu m'expliquer comment faire?

[Skullkid]

Essaye de trouver un lien entre les deux inégalités de la question 2. Tu vois par exemple que dans la deuxième inégalité il y a du e^(-x). Essaye d'en faire apparaître dans la première inégalité (la 2a).

[pricsou]

Je vois que la 2)a) on peut aussi l'écrire 1/e^x+x-1>0 et je remarque qu'il a x-1 dans les deux inégalités mais je vois pas quoi faire.

[Skullkid]

Pardon je me suis mélangé les pinceaux dans mon précédent post, je voulais dire : dans l'inégalité 2a il y a du e^(-x), et il n'y en a plus dans la 2b. Essaye de trouver un moyen simple de faire disparaître le e^(-x) de la 2a.

[pricsou]

comme je le dit dans mon post précédent e^-x=1/e^x
par contre après je ne vois pas quoi faire.

[Skullkid]

Ouais mais y a pas de 1 / e^x dans l'inégalité 2b. Essaye de multiplier par e^x par exemple...