Exercice : Fonction ? Dérivée ?

[Benous66]

Bonjour, j'ai un exercice dans mon DM de math qui me parrait réalisable avec les dérivées mais mon professeur ma interdit la dérivation pour cet exercice, je suis donc perdu dans la méthode de résolution.
énoncé :
Pour un décor de théâtre, on veut recouvrir de tissu une poutre dont la base est carrée et le volume est V=2160 dm cube. On utilise pour couvrir une des bases, un tissu à 30€ le mètre carré et, pour couvrir les parois en longueur et l'autre base, un tissu à 20€ le mètre carré.
Déterminer les dimensions de la poutre pour que le prix soit minimal. Quel est alors ce prix ?

Aidez moi SVP.

[Pseuda]

Bonsoir,

Qu'as-tu fait, pour dire que tu peux y arriver avec les dérivées ?

Pour déterminer des minimum ou maximum, il y a d'autres techniques que les dérivées, notamment si ta fonction est un polynôme du 2nd degré.

[Ben314]

Salut,
Si désigne le coté du carré, la fonction à minimiser est de la forme où et sont deux constantes réelles strictement positives.
Et pour trouve le min. sans les dérivées, c'est faisable, mais c'est pas mal chaud :
Tu part d'un quelconque et tu évalue .
Tu doit forcément arriver à mettre en facteur : .
Ensuite, tu te dit que, si est le minimum de , c'est que est toujours positif alors que change de signe en .
Il faut donc que le facteur change lui aussi de signe en pour que le produit reste positif. Ce qui signifie qu'il doit s’annuler lui aussi en , c'est à dire que
Cette équation en te permet de déterminer .
Ensuite, pour ce là, tu peut de nouveau factoriser dans ce qui te donne et tu n'a plus qu'à vérifier que pour tout pour en conclure qu'effectivement pour tout .

P.S. : c'est plus simple de faire les calculs avec les lettres et comme çi dessus qu'avec les vraies valeurs numérique de l'exo. Une fois le min. trouvé (avec des lettres) tu aura plus qu'à faire l'application numérique dans ton exo.