Exercice 1S: Dérivation paramètre

[Soli]

Bonjour,

Il s'agit d'un exercice de DM autour de la dérivation :

Voici la fonction f définie sur l'ensemble des réels par

La première question consiste à calculer la fonction dérivée en expliquant avant si elle est bien définie et dérivable sur .

La deuxième question plus difficile demande d'étudier l'intersection des droites passant par le point B (2; 4) avec la courbe . On nous indique qu'il faut paramétrer ces droites par leur coefficient directeur lorsqu'il existe puis discuter.

C'est pour cette deuxième question que je demande de l'aide.

Faut-il que je prenne l'équation de la tangente () à au point d'abscisse 2. Cependant, il s'agit de plusieurs droites, il ne s'agit donc pas d'étudier la position relative de et ().
Je ne comprends pas vraiment la formulation de la question.

Je vous en remercie.

[Lostounet]

La deuxième question plus difficile demande d'étudier l'intersection des droites passant par le point B (2; 4) avec la courbe . On nous indique qu'il faut paramétrer ces droites par leur coefficient directeur lorsqu'il existe puis discuter.


Faut-il que je prenne l'équation de la tangente () à au point d'abscisse 2.

Bonjour,
La question ne mentionne pas vraiment les tangentes au point B mais les droites quelconques..? Alors que toi tu parles de tangentes.
Sauf si tu as oublié un bout de la question (probablement vu qu'on te demande la dérivée).

[Soli]

Re-Bonjour,

Je n'ai rien oublié de mentionner, l'énoncé ne dit rien de plus, c'est pourquoi je ne sais pas vraiment comment le reformuler pour mieux le comprendre.

[Lostounet]

Re-Bonjour,

Je n'ai rien oublié de mentionner, l'énoncé ne dit rien de plus, c'est pourquoi je ne sais pas vraiment comment le reformuler pour mieux le comprendre.

Je suppose qu'il faut regarder les tangentes à la courbe de f et voir lesquelles passent par le point B ?

[pascal16]

soit M(x;f(x)), appartenant à Cf et B(2; 4)
Quand elle existe, la droite passant MB est-elle une tangente à Cf.

le coefficient directeur de MB est m(x)=(f(x)-4)/(x-2)
soit à résoudre f'(x)= m(x)


variante 1 :On peut donc aussi dire que :
Soit la droite Dm de coefficient directeur m passant par B (2; 4)
pour quelle valeur de m, est-elle tangente à Cf ?

Dm a pour équation réduite :
y=4+m(x-2)
on regarde l'intersection Dm et Cf
pour chaque point d'intersection au point d'abscisse xo, on vérifie su m= f'(xo)

variante 2 un peu dur pour du lycée (pas le calcul, mais savoir pourquoi on pose cette équation)
si on commence par vérifier m= f'(xo); on sait que proche de xo, il doit y avoir une solution unique d'intersection, donc un delta égal à 0 correspondant à une position limite

[pascal16]

après avoir posé les équations, niveau lycée, je pense que la réflexion graphique doit précéder les calculs :

soit Dm la droite de coefficient directeur m passant par B
Dm : y=4+m(x-2)
soit résoudre f(x)=4 +m(x-2) équation de degré 3 paramétrée par m, pas du niveau lycée.

par contre, on trace, on trouve bien par raisonnement graphique que le nombre d'intersections dépend de m.
le cas limite étant donné par une tangente... avec un degré 2.

ceci revient principalement à étudier f(x)-(4 +m(x-2)), degré 2 faisable.

[Soli]

Bonjour,

Avec Geogebra, quand , la droite coupe en trois points.

Cependant, puisque est une équation polynôme de degré 3, il faut donc que j'utilise .

Mais je ne comprends pas pourquoi :

pour chaque point d'intersection au point d'abscisse xo, on vérifie su m= f'(xo)

[pascal16]

si graphiquement tu as compris le truc, le cas limite est quand la droite est tangente à la courbe et ça on peut le déterminer par le calcul.

[pascal16]

pour m grand :
-> 3 intersections
une proche de B
une vers +oo
une vers -oo

vers m=- 10.5
cas limite : 2 intersections, la droite est alors tangente à la courbe

m <-10.5
1 seule intersection

[Soli]

Quand m = -10,5, la droite est tangente à la courbe sans passer par le point A or ne faut-il pas que que l'on passe par le point A ?

[pascal16]

vers -10.5, c'est ce que donne géogebra avec des traits d'1mm d'épaisseur.
le calcul doit te donner une valeur proche .

[Soli]

Je suis désolé sur Geogebra, j'avais placé le point B au mauvais endroit.

Je retire donc ma dernière remarque.

[Soli]

Au niveau du calcul, lorsque j'arrive à cette ligne, je ne sais pas comment m'y prendre :


Pourriez-vous m'indiquer comment arriver à résoudre cette ligne, s'il vous plaît ?

[pascal16]

si qq a une astuce, perso je tombe toujours sur du degré 3 et je me dis que si f est donnée sous forme factorisée, il y a une astuce.
m = -10.3772... comme valeur limite

[pascal16]

le "... puis discuter." dit peut-être qu'il faut dire comme le calculer, pas trouver la valeur exacte

[Soli]

Je comprends.

Je vous remercie de m'avoir aidé pour la compréhension de cette question.

[Soli]

Une dernière question, sans Geogebra comment argumenter pour expliquer les différentes valeurs de m :

pour m grand :
-> 3 intersections
une proche de B
une vers +oo
une vers -oo

vers m=- 10.5
cas limite : 2 intersections, la droite est alors tangente à la courbe

m <-10.5
1 seule intersection

[Lostounet]

Bonjour,

Bon l'énoncé est un peu flou mais si on veut faire comme Pascal, autant dire que:
(2x^2-4x-3)(x-5)= m(x-2)+4

Donc exprimer x en fonction de m (ce qui est plutôt facile)

Il suffit donc d'étudier les variations de G:
G(x)= ( (2x^2-4x-3)(x-5)-4 )/(x-2)

Pour x différent de 2 qui donne m en fonction de x ...

[Soli]

Je ne comprends pas pourquoi en exprimant x en fonction de m ce serait plus facile, j'obtiens toujours du 3e degré.