équation diophantienne

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
OY9151
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équation diophantienne

par OY9151 » 18 Oct 2014, 13:50

Bonjour,
je souhaite avoir une solution simple de l'équation 5058x+1791y=18 , x et y entiers relatifs.
Merci d'avance .



L.A.
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par L.A. » 18 Oct 2014, 14:36

Bonjour,

Il suffit de remonter l'algorithme d'Euclide.
Est-ce que tu peux déjà nous montrer ton algorithme (appliqué à 5058 et 1791) ?

paquito
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par paquito » 18 Oct 2014, 15:09

Le départ (le PGCD de 5058 et 17911 est 9 qui divise bien 18):

1791=0x5058+1791 avec 1791<50 d'ù R1: 1789=0x5058+1x1791;

5058=2x1791+1476 avec 1476<1791 d'où R2: 1476=1x5058-2x1791;

1791=1x1476+315 avec 315<149 d'où R3:
315=1791-(1476)=1791-(1x5058-2x1791)=-1x5058+3x1791

1476=315x4+216 avec 216<315 d'où R4:
216=1476-4x315=1x5058-2x1791-4x(-1x5058+3x1791)=
5x5058-14x1791;

je te laisse finir; c'est très méthodique.

soniaindia
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suite geometrique

par soniaindia » 18 Oct 2014, 15:13

bonjour , je suis nouvelle dans ce site .. j'ai un devoir maison dont une question me pose probleme , pourriez vous m'aider svp


Utiliser les droites d'equtions y = x , y= 0.8x + 50 pour construire les quatre premiers termes de la suite (un)


merci d'avance :)

OY9151
Membre Naturel
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équation diophantienne

par OY9151 » 18 Oct 2014, 16:21

Bonjour Messieurs paquito et L.A. ,


"
paquito a écrit:Le départ (le PGCD de 5058 et 17911 est 9 qui divise bien 18):

1791=0x5058+1791 avec 1791<50 d'ù R1: 1789=0x5058+1x1791;

5058=2x1791+1476 avec 1476<1791 d'où R2: 1476=1x5058-2x1791;

1791=1x1476+315 avec 315<149 d'où R3:
315=1791-(1476)=1791-(1x5058-2x1791)=-1x5058+3x1791

1476=315x4+216 avec 216<315 d'où R4:
216=1476-4x315=1x5058-2x1791-4x(-1x5058+3x1791)=
5x5058-14x1791;

je te laisse finir; c'est très méthodique.
"

merci pour vos réponses, mais pardonner moi de poser une question que l'on jugera
très naïve qui (peut être!) s'explique par le fait que je suis nouveau sur le site : pourquoi certains membres de ce forum sont dits "naturels" et d'autres "complexes" . Je me suis dits que c'est peut être par le fait qu'ils sont les premiers membres ayant un rapport avec le lancement de ce forum. Est cela ou pour d'autres considérations.

Pour revenir au problème que j'ai posé je reconnait dans votre démarche M. paquito l'utilisation de l'algorithme d'Euclide étendu. Je repose ma question ne peut on pas faire plus rapidement et surtout plus simplement?
Au revoir.

L.A.
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par L.A. » 18 Oct 2014, 16:54

OY9151 a écrit: Je repose ma question ne peut on pas faire plus rapidement et surtout plus simplement?



Non... :triste:

OY9151
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par OY9151 » 18 Oct 2014, 19:00

M. L.A.
votre réponse est sans appel : non!!! J'aimerai (si c'est possible) avoir l'avis d'autres membres complexes? Merci.

nodjim
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par nodjim » 18 Oct 2014, 20:03

A ma connaissance, il n'existe pas d'autres méthodes, seules des variantes peuvent être énoncées, mais c'est toujours le même principe.

Black Jack

par Black Jack » 18 Oct 2014, 20:58

5058x+1791y=18
562x + 199y = 2

y doit être pair : y = 2v (avec v dans Z)

562x + 199*2v = 2
281x + 199v = 1

On cherche une solution particulière (par exemple x = 24 et v = -17)
Poser x = X + 17 et v = V - 24

281(X + 17) + 199(V - 24) = 1
281X + 199V = 1 - 281*17 + 199*24
281X + 199V = 0 (281 et 199 sont premiers entre-eux)

X = 199k et V = -281k (avec k dans Z)

x = X + 17 ---> x = 17 + 199k
v = V - 24 ---> v = -24 - 281k et y = 2v ---> y = -48 - 562.k

Solutions dans Z² de 5058x+1791y=18 :

x = 17 + 199k
y = -48 - 562.k

Avec k dans Z
*****
Je ne sais pas si cette méthode est "habituelle"

:zen:

paquito
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par paquito » 18 Oct 2014, 21:11

OY9151 a écrit:Bonjour Messieurs paquito et L.A. ,


""

merci pour vos réponses, mais pardonner moi de poser une question que l'on jugera
très naïve qui (peut être!) s'explique par le fait que je suis nouveau sur le site : pourquoi certains membres de ce forum sont dits "naturels" et d'autres "complexes" . Je me suis dits que c'est peut être par le fait qu'ils sont les premiers membres ayant un rapport avec le lancement de ce forum. Est cela ou pour d'autres considérations.

Pour revenir au problème que j'ai posé je reconnait dans votre démarche M. paquito l'utilisation de l'algorithme d'Euclide étendu. Je repose ma question ne peut on pas faire plus rapidement et surtout plus simplement?
Au revoir.


Il y a toujours des simplifications possibles; ici on pouvait simplifier par 9; mais il vaut mieux connaître la méthode générale, par exemple si d=1; de toute façon la méthode n'est pas bien compliquée....

OY9151
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par OY9151 » 18 Oct 2014, 23:29

Merci M. Black Jack . J'ai apprécié la remarque concernant la variable "y." Néanmoins je me pose la question quant à la recherche de la solution particulière en dehors de la méthode proposée par M.paquito
Salut.

paquito
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par paquito » 19 Oct 2014, 11:10

OY9151 a écrit:Merci M. Black Jack . J'ai apprécié la remarque concernant la variable "y." Néanmoins je me pose la question quant à la recherche de la solution particulière en dehors de la méthode proposée par M.paquito
Salut.


C'est évidemment une bonne chose de diviser par le PGCD de a et b si possible, et on travaille avec des nombres plus petits; il faut le faire systématiquement.

Quant à la méthode de Black Jack, il suppose déjà connu une solution (comment?) et tout le reste est destiné à trouver la solution générale qui est immédiatement donnée par un résultat de cours.
C'est la recherche d'une solution particulière qui est délicate car le risque d'erreur d'étourderie est grand (toujours vérifier son résultat à la calculatrice). Mais il n'y a pas de méthode miracle, à moins d'être devin.

Black Jack

par Black Jack » 19 Oct 2014, 11:10

C'est vrai que la recherche d'une solution particulière n'est pas toujours facile

Reste cependant à savoir le cadre de l'exercice.

Hors enseignement, on fait ce qu'on veut ...
Et on trouve souvent facilement une solution particulière à l'aide d'un tableur ou via un petit algo de quelques lignes.

:zen:

Le Chat
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par Le Chat » 19 Oct 2014, 16:45

depuis quand c'est au programme du lycée?

OY9151
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par OY9151 » 19 Oct 2014, 21:26

Bonjour à tous ,

Messieurs BlacK Jack et Le Chat posent une question fondamentale : puisque la détermination d'une solution particulière de l'équation diophantienne ax+by=c (lorsqu'elle possède des solutions !) étant délicate pourquoi la poser dans le cadre d'un enseignement de classe de terminale?
A ma connaissance c'est l'unique raison pour que de telles équations ne soient pas posées et donc sont exclues des programmes de terminales : si une telle équation est poser on fait en sorte qu'une solution particulière est proposée dans le sujet ou à défaut elle peut être obtenue par "tâtonnement" .
Alors à moi de poser la question suivante : Si l'on dispose d'un schéma simple et efficace qui permet d'obtenir cette solution particulière pour une telle équation , schéma à la porté d'un élève de terminale, ne doit-on pas ouvrir un débat sur la question de maintenir la situation actuelle ou ne pas se limiter aux cas simples?
Qu'est vous en penser Messieurs?
Salutations.

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zygomatique
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par zygomatique » 19 Oct 2014, 22:12

OY9151 a écrit:Bonjour à tous ,

Messieurs BlacK Jack et Le Chat posent une question fondamentale : puisque la détermination d'une solution particulière de l'équation diophantienne ax+by=c (lorsqu'elle possède des solutions !) étant délicate pourquoi la poser dans le cadre d'un enseignement de classe de terminale?
A ma connaissance c'est l'unique raison pour que de telles équations ne soient pas posées et donc sont exclues des programmes de terminales : si une telle équation est poser on fait en sorte qu'une solution particulière est proposée dans le sujet ou à défaut elle peut être obtenue par "tâtonnement" .
Alors à moi de poser la question suivante : Si l'on dispose d'un schéma simple et efficace qui permet d'obtenir cette solution particulière pour une telle équation , schéma à la porté d'un élève de terminale, ne doit-on pas ouvrir un débat sur la question de maintenir la situation actuelle ou ne pas se limiter aux cas simples?
Qu'est vous en penser Messieurs?
Salutations.


salut

on peut user d'imaginaire, de créativité, de réflexion et de coup de génie parfois pour résoudre de telles équations .... quand on a du savoir (dans un tel cas la simple connaissance des tables de multiplication suffit) ... malheureusement ces talents (acquis) et à distinguer du don (inné) ne sont plus travailler à l'école .... et si cela ne suffisait pas il y avait toujours la roue de secours qui est la recette (Bézout) qui permettait avec les talents acquis par l'instruction de résoudre ce genre d'équation (du moins de savoir théoriquement le faire) .... :lol3:
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

paquito
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par paquito » 20 Oct 2014, 13:20

Je pense que si cette question est posée, ce sera dans un cas simple, c'est dire sans que cela demande une demi heure de calcul mais la méthode demande juste un peu de travail; d'autre par, les Ti par exemple ne font pas la division euclidienne; mais un petit programme comme le suivant est très facile à faire:

prgmQR
:Prompt N
:Pronpt D
:partEnt(D/N)->Q
:D*partFrac(D/N)->R
:Disp Q, R

Donc si l'exercice est: résoudre 25x+19y=2, il faudra dire qu'il y a des solutions car PGCD
(25, 19)=1 et appliquer la méthode classique:

25=1x19+6 d'où 6= 1x25-1x19

19=3x6+1 d'où 1=19-3x6=19-3(25-19)=-3x25+4x19 donc une solution particulière (-6; 8) et la solution générale (-6+19k,8-25k)

Je trouve que c'est quand même abordable, car méthodique et bien plus facile que certains exercices d'arithmétique

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zygomatique
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par zygomatique » 20 Oct 2014, 20:09

25x + 19y = 2 6x + 19(x + y) = 2 6(4x + 3y) + (x + y) = 2

il suffit donc de choisir




:ptdr:
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

paquito
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par paquito » 20 Oct 2014, 21:10

zygomatique a écrit:25x + 19y = 2 6x + 19(x + y) = 2 6(4x + 3y) + (x + y) = 2

il suffit donc de choisir




:ptdr:

Ca devient compliqué, c'est de la magie! On ne peut pas demander ça à un élève; et si la démarche demande 3 étapes???

OY9151
Membre Naturel
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par OY9151 » 20 Oct 2014, 23:01

Bonsoir ,
"Ca devient compliqué, c'est de la magie"

Je suis complètement en accord avec Paquito à moins que cela soit démontré pour l'exemple suivant
666x+245y=2
Salutations .

 

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