[TS] équation différentielle

[lalane]

Bonjour, j'ai un devoir maison de mathématiques pour les vacances, j'aurais besoin d'aide svp. Je met le début, si vous pouviez me corriger et m'aider pour les questions où je bloque. Je metterai la suite après avoir compris.


"Un problème de refroidissement"

La situation étudiée : Le système de refroidissement d'une machine est constitué d'un circuit contenant 20 litres d'eau. Dès que l'eau atteint une température de 80°c, le circuit est rafraîchi par un courant d'eau froide à 16°c : il entre très rapidement autant d'eau qu'il en sort à raison de 2 litres d'eau par seconde. L'eau entre à vitesse constante par de nombreux points ce qui permet de considérer que la température reste constamment homogène.

A/ Calcul préliminaire
On admet que la température du mélange est la moyenne des 2 températures, pondérées par les volumes correspondants.

Si on mélange de façon homogène un litre d'eau à 16°c et un litre d'eau à 80°c, quelle sera la température du mélange ?
-> je trouve 48°c

Et si on mélange 2 litres d'eau à 16°c avec 18 litres d'eau à 80°c ?
-> je trouve ici 73.6°c

B/ Modélisation par une suite
On note To=80 la température du circuit lorsque se déclenche le refroidissement et Tn la température n seconde après, exprimée en degrès Celsius (n appartenant à N).

1) Montrer que Tn+1 = (16+9Tn)/10
-> je ne vois pas vraiment comment faire ici vu que l'on a pas la définition de Tn.

2) Soit u la suite défini par un=Tn-16 pour tout n >ou égal à 0.
Montrer que (un) est une suite géométrique
-> je trouve que un+1 = 9/10un donc elle est géométrique de raison q=9/10

En déduire l'expression de un puis de Tn en fonction de n.
-> un = (9/10)^n * 64(=u0)
-> comme un=Tn-16, Tn=un+16 donc Tn = (9/10)^n * 64 + 16

3) quand l'eau atteindra t-elle une température de 30°c ?
-> je bloque ici aussi...


C/ Modélisation par une fonction

-> Je bloque sur toute la partie C, si vous pouviez m'expliquer comment commencer...

On note t le temps écoulé depuis que le refroidissement a été déclanché, et T(t) la température à l'instant t, t étant exprimé en secondes et T(t) en degrès celcius.

1)Quelle quantité d'eau rentre en Delta t secondes ? Je noterai delta t comme ceci : Dt.

Montrer que T(t+Dt)= ((20-2Dt)*T(t) + 2*Dt*16)/20
puis que (T(t+Dt)-T(t))/Dt = -(T(t)-16)/10


2)En déduire que T'(t) = -(T(t)-16)/10 puis que la fonction « fi » qui à t associe T(t)-16 est solution de l'équation différentielle y' = -0,1y

3)Déterminer fi(t) puis T(t) en fonction de t.

4)Quand l'eau atteindra-elle une température de 30°c?

J'arrête là pour l'instant, merci pour votre aide.

[lalane]

une petite remontée... pourriez vous m'aider svp ?