équa diff TS

[kemsings]

Bonsoir,
j'ai un exo sur les équations différentielles à faire et j'aimerai que vous m'apportiez des corrections à ce que j'ai déjà fait...
voici l'exo :

Un biologiste observe la croissance d'une population de bactéries en milieu fermé. La population initiale est de 100 bactéries. La capacité maximale du milieu est de 1000 bactéries. Soit N(t) le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en heures). Les observations faites conduisent à modéliser la situation par l'équation différentielle
(1) N'(t)=0,07N(1-10^-3 N) appelée équation logistique.

1) On suppose que la fonction N ne s'annule pas sur [0;+oo[ et on pose, pour tout t, t>=0 : P(t)=1/N(t)

a) Calculer P'(t)
---> J'ai donc P'(t)=-N'(t)/(N(t))²

b) Montrer que N est solution de (1) ssi P est solution de (2) : P'(t)=-0.07P(t)+7*10^-5
---> Pas de soucis : j'ai remplacé P'(t) et P(t) en fonction de N' et de N et je retombe bien sur l'équation (1)

c) Donner la forme générale des solutions de (2) et en déduire la forme générale des solutions de (1)
---> * Pour Pk(t) : a=-0,07 et b=7*10^-5 donc Pk(t)=ke^(-0,07t)+7*10^-3
* Pour Nk(t) : Nk(t)=1/Pk(t)=1/(ke^(-0,07t)+7*10^-3)....à simplifier ?!

d) Montrer que la solution de (1) qui vérifie la condition initiale est :
N(t)=1000/(1+9e^(-0,07t))
--->la condition initiale est N(0)=100 donc pour le calcul de k, d'après Nk(t) que j'ai trouvé, j'obtiens k=3*10^-3 donc N(x)=1/(3*10^-3e^(-0,07t)+7*10^-3)....erreur de calcul ou alors je peut simplifier pour obtenir le résultat demandé ???!

2) a) Quel est le nb de bactéries au bout de 50h ?
--->Je remplace t par 50 doncN(50)=1000/(1+9e^(-3,5))=786 bactéries

b)Au bout de combien de tps le nb de bactéries sera-t-il égal à 90% de la capacité maximale du milieu ?
--->N(t)=900 soit t=62,78 h

3) Justifier, en utilisant l'expression de N(t) la phrase : "La capacité maximale du milieu est 1000 bactéries".
---> Je ne vois pas trop comment faire pour cette question.

Merci beaucoup pour votre aide !

[Noemi]

Revoir le calcul de la question 1 c)
calcule k en utilisant la condition initiale.

[kemsings]

Pour la question 1-c) je ne dois pas calculer k vu qu'on me demande les solutions générales. Ce que j'ai trouvé n'est pas juste ?!

[Noemi]

Exact, c'est à la question d) que tu calcules k
Le résultat : Pk(t)=ke^(-0,07t)+7*10^-3 est faux comment trouves tu la constante ?

[kemsings]

et bien comme la solution est sous la forme Pk(t)=ke^at-b/a et que -b/a=(7*10^-5)/0,07=7*10^-3 d'où la constante...?!!!

[Noemi]

-b/a=(7*10^-5)/0,07=10^-3 !!

[kemsings]

ah mais oui bien sur...évidemment ça change tout...

donc pour la 1-c) ca fait : Pk(t)=ke^(-0,07t)+10^-3
et Nk(t)=1/(ke^(-0,07t)+10^-3)

1-d) le calcul de k donne k=9*10^-3 et ensuite pas de soucis pour retrouver le résultat annoncé, en factorisant.

Pour les questions 2-a) et b) je ne sais pas si j'ai bon et par contre pour la 3- je ne vois pas trop comment faire...

[Taupin]

Ba la fin est simple, tu fais tendre t vers l'infini et tu te rends compte que au maximum tu n'auras que 1000 bactéries !

[kemsings]

oui je viens justement d'y penser...merci