Toujours equa diff...

[Yohan_]

Soit l’équation différentielle : y’ – 5y = sin(x)
1.Donner la solution générale de cette équation.
2.Déterminer la solution f(x) vérifiant la condition initiale f (0) = 0
3.Comment faut – il déterminer la condition initiale y(0) pour que la solution y(x) soit bornée, c'est-à-dire qu’elle vérifie | y (x)| ;) K pour x ;) 0, K étant indépendant de x


Une ptite aide? :hum:

Merci

[Daragon geoffrey]

il te faut dabord résoudre l'équation associé sans second embre, cad y'-5y=0 équiv à y=ke^(5x), déterminer k avec les conditions initiales (mé ce n'est pas nécessaire) puis ajouter l'ensemble de ces solutions à une solution particulière de l'équa diff initiale que tu oras trouver en testant plusieurs fonctions ! calcule els valeurs des constantes à laide des conditions données par l'énoncé ! @ +

[Yohan_]

y' - 5y = 0
p-5 = 0
p = 5
donc y = A.e5x

C'est juste pour la 1 ?
Pouvez vous maider pour la 2 ?

[Yohan_]

Personne ?? :hum:

[Zebulon]

y' - 5y = 0
p-5 = 0
p = 5
donc y = A.e5x

C'est juste pour la 1 ?
Pouvez vous maider pour la 2 ?

Qu'est-ce que c'est que P?

[Yohan_]

Ben on m'a dit de faire comme ca pour trouver les solut ... ca doit remplacer le y ..

[Zebulon]

Voici une méthode rigoreuse pour résoudre ce genre d'équation:

avec
avec k appartenant à .

Ensuite il faut déterminer une solution particulière.

[Yohan_]

il faut qu'elle soit sous cette forme x -> a.sin(x) + b.cos(x) ?

[Zebulon]

Non, là en l'occurence elle sera de la forme où est une solution particulière de l'équation avec second membre.

[Nemesys]

Yohan n'a pas tort.

y’ – 5y = sin(x)

Cette solution est de la forme y = a.sin(x) + b.cos(x)
y' = a.cos(x) - b.sin(x)

y' - 5y = a.cos(x) - b.sin(x) - 5( a.sin(x) + b.cos(x))
y' - 5y = (a-5b).cos(x) - (b+5a).sin(x)
On identifie le second membre de cette équation avec le second membre de y' - 5y = sin(x)

Par identification : a-5b=0 et -(b+5a)=1, ce qui donne b = -1/26 et a = -5/26

La solution générale de l'équation différentielle y’ – 5y = sin(x) est la somme de la solution générale de l'équation différentielle sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre, ainsi la solution générale de l'équation différentielle y’ – 5y = sin(x) est la fonction définie sur R (ensemble des nombres réels) par x -> A.e5x - ( 5.sin(x)+cos(x) )/26.


La ca devrait lui etre plus clair :)

Sauf distraction.

[Yohan_]

Ouai dacccord mais la je ne sais meme plus a quelle question vous repondez !! :hum:

je suis un peu perdu pourriez vous reorganiser le tout avec les numéros des questions svp?

[Daragon geoffrey]

slt
Zeb et moi avons répondu à la première question et trè fortement avancé pour la seconde ! @ +

[Zebulon]

il faut qu'elle soit sous cette forme x -> a.sin(x) + b.cos(x) ?

Non, là en l'occurence elle sera de la forme où est une solution particulière de l'équation avec second membre.

Yohan n'a pas tort.

Bonjour,
excuse-moi, j'ai cru que tu parlais de la solution générale.

Je reprends:
question 1:

Voici une méthode rigoureuse pour résoudre ce genre d'équation....
Ensuite il faut déterminer une solution particulière.

Je n'ai pas réécrit tout ce que ce brillant Zebulon a écrit!

Pour une solution particulière et la solution générale de l'équation:

y’ – 5y = sin(x)

Cette solution est de la forme y = a.sin(x) + b.cos(x)
y' = a.cos(x) - b.sin(x)

y' - 5y = a.cos(x) - b.sin(x) - 5( a.sin(x) + b.cos(x))
y' - 5y = (a-5b).cos(x) - (b+5a).sin(x)
On identifie le second membre de cette équation avec le second membre de y' - 5y = sin(x)

Par identification : a-5b=0 et -(b+5a)=1, ce qui donne b = -1/26 et a = -5/26

La solution générale de l'équation différentielle y’ – 5y = sin(x) est la somme de la solution générale de l'équation différentielle sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre, ainsi la solution générale de l'équation différentielle y’ – 5y = sin(x) est la fonction définie sur R (ensemble des nombres réels) par x -> A.e5x - ( 5.sin(x)+cos(x) )/26.

Pour la question 2, on cherche f(x) tel que et f(0)=0. f(0)=0 est la condition initiale qui va déterminer k comme l'a si bien dit ce brillant Daragon Geoffrey.
donc .

Remarque: (c'est-à-dire la donnée d'une équation différentielle de ce type et d'une condition (pas forcément en 0 d'ailleurs)) s'appelle un problème de Cauchy.

[Yohan_]

La c'est plus clair dans ma tete merci d'avoir remis tout en ordre ;)

La question 3 je ne comprends pas trés bien ...... :hum:

[Zebulon]

On veut que pour tout , .
C'est équivalent à

pour tout . Regarde ce qui se passe quand x est trèx grand...

[Nemesys]

2. solution : K = 1/26

3. Pour que la solution soit bornée, il faut que K soit égal à 0, tout simplement.



Sauf distraction.

[Yohan_]

Hum un peu differentes vos réponses, ca me perd encore plus .... mais un pote qui a demandé au prof m'a parlé d'une constante( k ou C ) = 0 pour la 3 et qu'il faut juste mettre ca, en effet, mais pouvez vous vous mettre daccord tout de meme svp ? Et aussi un peu plus d'explication pour la 3 si vous pouvez meme si le prof , k = 0 lui suffit ( je sais meme pas si c'est k ou K )

Merci

[Zebulon]

On a: pour tout donc donc k=0.

[Yohan_]

Très bien parfait merci bien de votre aide !!!

[Zebulon]

De rien! A bientôt!