équa. diff. d'ordre 3

[theluckyluke]

tu écris que la solution est en et tu mets au cube. Donc et ensuite tu trouves et .
En fait, vérifie que soit .
Ensuite, tu conclus.

C'est bon où je dois plus expliciter?
D'ailleurs tu as déjà vu les nombres complexes en cours?

[egan]

Je veux bien que tu détailles un peu plus comment on trouve r et théta.
Sinon oui j'ai finit la terminale, j'ai vu les complexes.

[Black Jack]

Je veux bien que tu détailles un peu plus comment on trouve r et théta.
Sinon oui j'ai finit la terminale, j'ai vu les complexes.

y³ = 1

r = |y³| = 1

y³ = 1*(cos(theta) + i.sin(theta))
en comparant à : y³ = 1 (soit à 1 + 0*i)

On a : cos(theta) = 1 et sin(theta) = 0
--> theta = 2k.Pi (avec k dans Z)

--> y³ = 1 * e^(i.2k.Pi)
y³ = e^(i.2k.Pi)

y = e^(i.2k.Pi/3)

k depuis 0 jusque 2 donnent les 3 solutions de y³ = 1 :

a)
k = 0
y1 = e^(0) = 1

b)
k = 1
y2 = e^(i.2.Pi/3)
y2 = cos(2.Pi/3) + i.sin(2.Pi/3)
y2 = -1/2 + ((V3)/2).i

c)
k = 2
y3 = e^(i.4.Pi/3)
y3 = cos(4.Pi/3) + i.sin(4.Pi/3)
y3 = -1/2 - ((V3)/2).i

:zen:

[egan]

Merci beaucoup. ^^
Comment peut-on affirmer que k peut prendre les valeurs 0,1,2 ?
Par disjonction de cas, on peut y arriver non ? En montrant que quand k=3p, p dans Z, les solutions sont les mêmes et pareil pour 3p+1 et 3p+2.

[Black Jack]

Merci beaucoup. ^^
Comment peut-on affirmer que k peut prendre les valeurs 0,1,2 ?

L'équation est de dégré 3, il y a donc 3 solutions.

On peut démontrer que ces solutions sont déterminées par 3 valeurs successives de k.

On peut donc faire au plus simple et prendre k = 0, 1 et 2.

... Mais on peut tout aussi bien, par exemple, choisir k = 31256 , 31257 et 31258

... A part compliquer les calculs, cela revient au même, les solutions trouvées seront équivalentes.

:zen:

[theluckyluke]

de toute façon, l'argument est défini modulo donc tu retombes toujours sur les mêmes valeurs.