Equa diff y'+y=e^(-x)

[adriadeus]

Bonjour,
Je dois résoudre l'équa diff suivante :
Mais je ne sais pas quelle méthode utiliser; est-ce une équation linéaire, ou est-elle à particule séparable? Autrement dit, dois-je intégrer directement ou utiliser une méthode de substitution, telle que , etc. ?
Je n'ai pas de condition initiale donnée.
Merci d'avance pour votre aide.

[chan79]

Bonjour,
Je dois résoudre l'équa diff suivante :
Mais je ne sais pas quelle méthode utiliser; est-ce une équation linéaire, ou est-elle à particule séparable? Autrement dit, dois-je intégrer directement ou utiliser une méthode de substitution, telle que , etc. ?
Je n'ai pas de condition initiale donnée.
Merci d'avance pour votre aide.

Résouds d'abord y'+y=0

[Black Jack]

a)
Solutions de y' + y = 0 :
y = C.e^-x

b)
Solution pariculière de y' + y = e^-x
Cas particulier car le 2ème membre est une des solutions de l'équation caractéristique.
On cherche alors une solution particulière de la forme y = A.x.e^-x

Il faut déterminer A ...

Tu devrais arriver à montrer que A = 1 convient

c)
Les solutions générales de y' + y = e^-x sont la somme de celles trouvées en a et b

...

:zen:

[adriadeus]

Merci beaucoup! J'avais pas fait gaffe à la subtilité pour la solution particulière. Merci encore

[Black Jack]

Remarque que les autres méthodes de résolution mentionnées étaient également possibles.

Par exemple celle en posant y = uv.
*****
y' + y = e^-x
poser y = uv
y' = uv' + u'v

uv' + u'v + uv = e^-x
u(v'+v) + u'v = e^-x
Cherchons une expression de v pour que v'+v = 0 ---> v = e^-x convient

L'équation devient alors : e^-x * u' = e^-x
u' = 1 ---> u = x + C

et donc y = uv ---> y = (x + C).e^-x

:zen:

[Black Jack]

Et aussi la méthode plus "habituelle" :

Solutions de y'+y = 0 --> y = C.e^-x

Solution particulière de y'+y=e^-x (par la méthode de la variation de la constante)
y = f.e^-x (avec f une fonction de x)

y' = f'.e^-x - f.e^-x

y'+y = f '.e^-x - f.e^-x + f.e-x = f 'e^-x
---> f ' = 1
f = x
et donc y = x.e^-x est une solution particulière de y'+y=e^-x

Solution générale de y'+y=e^-x :
y = C.e^-x + x.e^-x
y = (x + C).e^-x
*****
:zen:

[chan79]

tout est dit mais je mets le lien :zen:

adriadeus ne pourra pas dire qu'il n'a pas eu d'aide :we:

[adriadeus]

Merci beaucoup pour ce véritable cours de math! :lol3: