Equa diff

[LuluCooooper]

Bonjour !

J'ai de gros problèmes avec les équations différentielles...
Dans un de mes DS, j'ai un exo qui porte dessus, on a corrigé dans l'ensemble, mais ce n'est toujours pas clair pour moi.

Soit (E) l'équation différentielle

1. Résoudre dans R l'équa diff .

on a . Les solutions de cette équation diff sont les fonction

Cette question c'est bon, j'ai compris.

2. Déterminer un réel a tel que la fonction u définie sur R par est une solution de (E).

u est une solution de E. on cherche une solution particulière de E.

donc Comment passe-t-on d'une ligne à l'autre ici ?
Bon la on a mis en facteur, c'est bon.

d'où donc a=1. POURQUOI ? Après la mise en facteur, je ne sais pas ce que j'écris.

D'où u(x)=xe^{2x} qui est la solution particulière de E recherchée. POURQUOI ? Comment en déduit-on ceci ?

3. Démontrer qu'une fonction f définie sur R est solution de E ssi il existe une fonction g solution sur R de E' telle que f=g+u.

f est solution de E Que déduire de cette information ?? Je sais que c'est la suite mais je ne vois pas pourquoi.






Donc g est solution de E'. Le détail du calcul, je ne le comprends pas trop, et une fois qu'ona trouvé que g est solution de E, comment répondre clairement à la question posée ?

4.En déduire l'ensemble des solutions de E.

D'après la question 3. les solutions de l'équation E sont les fonctions de la forme g(x)+u(x) avec g solution de E'.
D'ou Je n'ai pas compris comment on peut déduire tout ca...

5. Déterminer la solution f de E telle que f(0)=1.

La fonction f d'ici n'est pas la meme que dans la question 1 ?? Je ne sais que dire.
...


MERCI D'AVANCE POUR VOTRE AIDE !

[Sa Majesté]

2. Déterminer un réel a tel que la fonction u définie sur R par est une solution de (E).[/B]

u est une solution de E. on cherche une solution particulière de E.

donc Comment passe-t-on d'une ligne à l'autre ici ?

On dérive un produit de fonctions
Par contre ça donne

Bon la on a mis en facteur, c'est bon.

d'où donc a=1. POURQUOI ? Après la mise en facteur, je ne sais pas ce que j'écris.

u est solution de E ssi
ensuite tu remplaces u' et u par leur expression et ça te donne donc a=1

3. Démontrer qu'une fonction f définie sur R est solution de E ssi il existe une fonction g solution sur R de E' telle que f=g+u.

f est solution de E Que déduire de cette information ?? Je sais que c'est la suite mais je ne vois pas pourquoi.






Donc g est solution de E'. Le détail du calcul, je ne le comprends pas trop, et une fois qu'ona trouvé que g est solution de E, comment répondre clairement à la question posée ?

Ton raisonnement est bon (même si tu ne le comprends pas)
Tu peux écrire un peu différemment
Tu sais que u est une solution de E donc
Du coup f est solution de E ssi ssi ssi ssi ssi où g=f-u

4.En déduire l'ensemble des solutions de E.

D'après la question 3. les solutions de l'équation E sont les fonctions de la forme g(x)+u(x) avec g solution de E'.
D'ou Je n'ai pas compris comment on peut déduire tout ca...

f est solution de E ssi il existe une fonction g solution de E' telle que f=g+u
donc les solutions de E sont les fonctions de la forme g+u avec g solution de E'
Or tu connais [B]toutes les solutions de E' : elles sont de la forme Ce^(2x)

5. Déterminer la solution f de E telle que f(0)=1.[/B]

La fonction f d'ici n'est pas la meme que dans la question 1 ?? Je ne sais que dire.

Toutes les solutions de E sont de la forme f(x) = Ce^(2x)+xe^x
Trouver celle telle que f(0)=1 n'est pas très difficile ...

[houyam]

slt
bon pour la dérivée du u(x)
u(x)=ax exp^{2x}
u(x) est de la forme :u(x)=f(x).g(x) tel que
f(x)=ax et g(x)=exp{2x}
donc u'(x) = f '(x).g(x)+g'(x).f(x) tel que
f '(x)=a et g'(x)=2exp^{2x}
donc u'(x)=aexp^(2x)+2exp^{2x}ax
u'(x)=exp^{ex}(a+2ax)
aprés
u(x) est une solution particuliere de E càd:
solution de:y'-2y=exp(2x)
donc u'(x)-2u(x)=exp(2x).................(1)
calculons d'abord u'(x)-u(x)
exp^{2x}(a+2ax)-2ax exp(2x)
exp^{2x}(a+2ax-2ax)=aexp^{2x} remplaçons dans (1) on trouve
a exp^{2x}=exp^{2x] donc a=1
et la solution parteculiere ext u(x)=x exp^{2x}

[LuluCooooper]

OK merci pour ces réponses. J'ai bien lu.

Pour la 5. :
f(0)=1




Donc la solution f de (E) telle que f(0)=1 est

[houyam]

oui c'est ça!

[LuluCooooper]

Ok merci !

[LuluCooooper]

Rebonjour,

pouvez vous m'aider pour la redaction de la 5 svp ??

[Sa Majesté]

Où est le problème ?

De la 4, tu déduis que l'ensemble des solutions de E est l'ensemble des fonctions f telles que


La solution de E telle que f(0)=1 est telle que C=1 donc il n'y en a qu'une (c'est celle qui correspond à C=1)

[LuluCooooper]

C'était juste pour la rédaction :

j'avais mis :



Les solutions de cette équation diff E sont les fonctions f qui a x associe d'après la question 4.

donc f



Donc f(x)=e^{2x}+xe^x