Ensemble d'entiers

par **lapras** » 27 Aoû 2007, 21:36

Bonsoir,
j'ai essayé de faire cet exercice d'arithmétique mais je n'y arrive pas trop :

"Soit E lensemble des entiers pouvant sécrire : a² + 2b², avec a et b entiers. Montrer que pour tout entier n, si 3n appartient à E, n appartient aussi à E."

J'ai essayé d'utiliser la parité, les congruence, les identités remarquables...
pas trop de résultat pour le moment !
en fait j'ai même essayé ceci :
3n = a² + 2b² équivaut à :
3n congrue à a² modulo b²
mais bon je vois pas trop ou ca m'a mené...

J'aimerais juste un indice s'il vous plait, et non la résolution (je souhaite devenir fort en arithmétique)

Merci d'avance

par **kazeriahm** » 28 Aoû 2007, 09:08

lapras a écrit:3n = a² + 2b² équivaut à :
3n congrue à a² modulo b²

ca c'est faux (la réciproque est fausse)

par **kazeriahm** » 28 Aoû 2007, 09:10

3n=a^2+2*b^2 donc 3 divise (a^2+2*b^2)

ceci impose des conditions sur les congruences de a et b modulo 3

je te laisse voir

par **lapras** » 28 Aoû 2007, 10:25

Si 2b² est divisible par 3, alors d'apres le lemme de Gauss, b² est divisible par 3, et par conséquent a² divisible par 3.
Sinon a² et b² congruent à 1 ou 2 mod 3
a²=3k+1 => a² impaire => a impaire
ou
a²=3k+2 => a² pair => a pair

b²=3k+1 => b² impaire => b impaire
ou
b²=3k+2 => b² pair => b pair

je ne vois pas a quoi ca m'avance :cry:

par **Flodelarab** » 28 Aoû 2007, 10:49

lapras a écrit:je souhaite devenir fort en arithmétique

:ptdr:
Donc d'abord, bonne chance.
Ensuite, regarde ICI pour toutes les règles arithmétiques de bases et leur justifications. Simple, précis, concis.

Quand au probleme que tu poses ici, j'allais faire la même réponse que toi: on peut trouver toutes les formes de n possibles mais cela ne permet pas de retomber sur la forme des nombres de E.

par **lapras** » 28 Aoû 2007, 10:52

Ok mais flodelarab, aurais tu un autre indice ?
(je dis bien indice :ptdr: )
Pour les règles de bases j'en connais pas beaucoup :
juste la définition du modulo, quelques petits théoeremes (bezout, fermat, gauss...), et puis apres il me reste que mon cerveau pour m'aider:marteau:
Est ce normal davoir du mal au début en arithmétique ?

par **Flodelarab** » 28 Aoû 2007, 14:15

lapras a écrit:Ok mais flodelarab, aurais tu un autre indice ?

Donner un indice, c'est donner la solution.

Mais tu l'auras voulu :++:

Fermat a conjecturé l'équivalence suivante (qui fut démontrée par Lagrange) :

Démontrer la contraposée de ton problème devient alors trivial. Mais typique des raisonnements arithmétique.

par **Flodelarab** » 31 Aoû 2007, 12:24

Pas de nouvelles ?

L'arithmétique est venu à bout de toi avant que tu n'arrives à bout de l'arithmétique ?
Lancerais tu trop de chantiers d'un coup ?

par **lapras** » 31 Aoû 2007, 12:26

salut flo,
merci pour le théoreme, mais je ne le connaissait pas et je ne pense pas savoir le démontrer....
Je vais arrêter l'arithmétique pour le moment :--:

par **Flodelarab** » 31 Aoû 2007, 12:38

lapras a écrit:salut flo,
merci pour le théoreme, mais je ne le connaissait pas et je ne pense pas savoir le démontrer....
Je vais arrêter l'arithmétique pour le moment :--:

Le grand Pierre Fermat qui est loin d'être un débutant en arithmétique n'a fait que conjecturer ce théorème et Il a fallu attendre Lagrange pour avoir une preuve.

Si tu l'avais fait sur un coin de table en 10s, :cry:

Mais ça ne veut pas dire qu'il faille abandonner l'arithmétique.

par **lapras** » 31 Aoû 2007, 12:41

Je viens de découvrir des domaines plus interessants et je n'ai pas le temps de tout faire, donc pour l'instant je laisse tomber 2 semaines l'arithmétiques

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