Détermination de la réciproque d une fonction

[georgets555]

salut capitaine nuggets

encore du blocage si possible de donner votre méthode avec des détailles
la fonction est définie sur ]-2,0[
elle est strictement décroissante sur ]-2,-1[ et elle est strictement décroissante sur]-1,0[
et on a f(-1)=0
donc la fonction réalise une bijection sur chaqu un des deux intervalles

comment déterminer les deux expressions de la réciproque ??



merci

[Ben314]

Salut,
A mon sens, ce n'est pas avec des limites que tu est sensé trouver la bijection réciproque (si la fonction n'était pas continue, ça ne marcherais pas). Tu doit le faire uniquement par du calcul.

Par exemple, pour la 2) (vu que la 1) est clairement fausse comme te l'a signalé capitaine nuggets.

Tu veut montrer que la fonction est une bijection de ]0,2[ sur et déterminer sa bijection réciproque.

1) Perso, même si ce n'est pas demandé, je commencerais par vérifier que f est bien définie, c'est à dire qu'on peut calculer le truc en question pour n'importe quel x de ]0,2[ (on est jamais à l'abri d'une erreur d'énoncé...) :
pour donc f est bien définie.

2) Ensuite, pour montrer qu'elle est bijective est déterminer sa bijection réciproque (on fait forcément les deux en même temps), on prend un y quelconque de l'ensemble d'arrivé, donc ici un 4$y\in{\mathbb R} et on cherche les éventuels x dans l'ensemble de départ tels que f(x)=y. Donc ici, le x qu'on cherche, il doit être dans ]0,2[ et, si f est effectivement bijective, alors il doit y avoir un et un seul x dans ]0,2[ qui vérifie f(x)=y (quelque soit le y pris au départ).
Au niveau calcul, on part donc de avec y réel connu et on cherche x dans ]0,2[.
- Si y=0 alors clairement, la seule solution est x=0 qui est bien dans ]0,2[.
- Si y est non nul, alors (*) équivaut à qui équivaut à et (à ne pas oublier : )
qui est une équation du second degré en x vu que y²+1 ne peut pas être nul.
Le discriminant est donc l'équation admet deux solutions et .
MAIS, il ne faut pas oublier les deux condition qu'on a sur le x cherché, à savoir que ce qui élimine la solution et que .
Il faut donc vérifier que (je te laisse le faire, j'ai la flemme...) et on en déduira que f ext bijective de bijection réciproque (formule valable y compris lorsque y=0)

[zygomatique]

pour LaTeX voir :: http://www.maths-forum.com/ecrire-belles-formules-mathematiques-balises-tex-70548.php


ensuite tes variations sont imprécises :

f est strictement croissante/décroissante de ....(intervalle) sur ....(intervalle ....)

ici il semblerait que f admette un minimum en -1 (d'après ton post (très) imprécis précédent) donc tu sais alors que y > 0 ... ce qui règle le pb des valeurs absolues ....

[zygomatique]

bon j'ai tracé la courbe avec geogebra ... et donc pour les variations il suffisait de dire que f est strictement croissante de ]0, 2[ dans R .... (on se fout du signe de y dans un premier temps)
puis éventuellement compléter par f(1) = 0 si nécessaire ensuite) ....

et entretemps Ben314 est intervenu et trouve comme moi ... en précisant la condition nécessaire .... que je n'avais pas donnée à 17h59 hier : à savoir que y et x - 1 ont même signe ....

[capitaine nuggets]

- Si y=0 alors clairement, la seule solution est x=1 qui est bien dans ]0,2[.

Une faute de frappe s'est glissée dans ton post Ben314 :+++:

En tout cas, c'est sympa pour lui de t'être décarcassé à faire tout le boulot :ptdr:

[mathelot]

pour déterminer les fonctions réciproques de f, on détermine
des intervalles I1 , I2 sur lesquels f est continue, strictement monotone.

Grace à la continuité de f, l'image d'un intervalle est un intervalle, ce qui assure la surjectivité
et la monotonie stricte assure l'injectivité.
Il existe donc des intervalles J1,J2 tels que la restriction de f à I1
induit une bijection de I1 sur J1.
Quand on calcule x=g(y) à partir de y=f(x), les choix à faire reflètent
les choix d'intervalles I1 ou I2

exemple y=cosh(x),x =Argcosh(y)

[georgets555]

salut Ben314

merci beaucoup c est très bien expliquer
mais pour le premier exemple je n est pas compris la faute

merci

[georgets555]

salut mathelot
merci pour tes explications mais j aime bien savoir les appliquer sur un exemple avec les fonctions irrationnelles par exemple
est il possible de me donner une exemples d applications avec plus de détaille
pour que je puisse l appliquer


merci

[georgets555]

salut
j ai essayé de chercher la fonction réciproque mais il y a un problème au niveau du choix des solutions
proposer moi une méthode

voici une fonction qui m a posé un problème
f(x)=1/3(x-2)^3 +1
f est continue et strictement croissante donc elle réalise une bijection de IR sur IR
déterminer sa fonction réciproque
merci bien

[capitaine nuggets]

Hello, la forme sous laquelle tu as écrit ta fonction prête à confusion...
S'agit-il de ou ou ???

[georgets555]

salut capitaine nuggets
merci pour ton soutien
c est cette fonction


merci

[capitaine nuggets]

Si tu poses , il suffit de résoudre l'équation d'inconnue d'inconnue et de paramètre : . Montre alors en cherchant à isoler que .

:+++:

[mathelot]

salut mathelot
merci pour tes explications mais j aime bien savoir les appliquer sur un exemple avec les fonctions irrationnelles par exemple
est il possible de me donner une exemples d applications avec plus de détaille
pour que je puisse l appliquer


merci

énoncé
soit




1) étudier les variations de c et s.
2) calculer fonction du second degré de y, puis x fonction de y.
Montrer que sinh() admet une réciproque h sur R tout entier
et cosh admet deux fonctions réciproques, l'une à valeurs dans R+, l'autre à valeurs
dans R-

[georgets555]

salut capitaine nuggets

f est une bijection de IR sur IR

f(y)=x équivaut à (y-2)^3=3(x-1) comment passer a la racine cubique il y a un problème

merci

[georgets555]

salut mathelot

Donc comment appliquer tes remarques svp

merci

[mathelot]

salut mathelot

Donc comment appliquer tes remarques svp

merci

ici

calcul de la fonction réciproque du cosinus hyperbolique.





calcul de comme racine d'un trinôme du second degré

[georgets555]

[quote="mathelot"]
vous m avez pas compris c est comment choisir les intervalles J1 et J2 ? I1 , I2
voir l exemple suivant si possible de me donner une solution

f est une bijection de IR sur IR

f(y)=x équivaut à (y-2)^3=3(x-1) comment passer a la racine cubique il y a un problème

votre proposition

(pour déterminer les fonctions réciproques de f, on détermine
des intervalles I1 , I2 sur lesquels f est continue, strictement monotone.

Grace à la continuité de f, l'image d'un intervalle est un intervalle, ce qui assure la surjectivité
et la monotonie stricte assure l'injectivité.
Il existe donc des intervalles J1,J2 tels que la restriction de f à I1
induit une bijection de I1 sur J1.
Quand on calcule x=g(y) à partir de y=f(x), les choix à faire reflètent
les choix d'intervalles I1 ou I2)

merci

[georgets555]

salut Ben314
cher professeur j ai un problème au niveau de la justifications des passages et du choix de la solution ou les solutions si possible de me donner une methode
voici un exemple

f est une bijection de IR sur IR

f(y)=x équivaut à (y-2)^3=3(x-1) comment passer a la racine cubique il y a un problème

merci

[zygomatique]

peut-être qu'un peu de méthode en représentant les fonctions (sur geogebra par exemple) résoudrait tes pb de signe et d'intervalle ...

[georgets555]

salut zygomatique
merci pour ton message
j aime bien savoir comment faire sans utilisation de logiciels
les étapes a faire chaque fois

merci