Dérivée seconde

[t.itou29]

Bonsoir,
La dérivée d'une fonction c'est (entre autre) le coefficient directeur de la tangente, mais je me demandais si on dérive une deuxième fois ce que ça représente, j'ai vu sur wikipédia qu'il s'agit de la dérivée seconde et qu'elle indique la "courbure ". Pourriez-vous m'expliquer plus en détails et me donner des applications ?
Merci

[jlq]

Bonsoir,
La dérivée d'une fonction c'est (entre autre) le coefficient directeur de la tangente, mais je me demandais si on dérive une deuxième fois ce que ça représente, j'ai vu sur wikipédia qu'il s'agit de la dérivée seconde et qu'elle indique la "courbure ". Pourriez-vous m'expliquer plus en détails et me donner des applications ?
Merci

Si tu regardes simplement la fonction x^3, tu verras que sa dérivée est toujours positive, par contre sa dérivée seconde est négative (courbure dans un sens), nulle (point d'inflexion), puis positive (courbure dans l'autre sens).

[Archibald]

Bonjour,

la dérivée second permet de connaître la nature d'une fonction : est-elle convexe ? est-elle concave ? est-elle les deux à la fois ? et sur quel(s) intervalle(s) ?

Je ne sais pas dans quelle section tu es, ni en quelle classe, mais c'est pas grave :

Fonction (strictement) convexe : dérivée seconde (strictement) supérieure à 0.

Concrètement, une fonction convexe a sa courbe représentative au dessus de toutes ses tangentes.

Fonction (strictement) concave : dérivée seconde (strictement) inférieure à 0.

Ici, c'est l'inverse. On constate que la courbe représentative de la fonction racine carrée est en dessous de toutes ses tangentes.

Une fonction peut bien entendu être convexe sur un intervalle donné puis concave sur un autre. Elle change de nature au point qui annule sa dérivée seconde, c'est ce que l'on appelle le point d'inflexion :


A noter que seules les fonctions linéaires sont à la fois convexes et concaves.

[t.itou29]

Merci, je crois avoir compris et dans quel type de cas doit-on les utiliser ?

[t.itou29]

Par exemple la dérivée seconde de la fonction est donc f est concave sur ]-infini;1/3] et convexe sur [1/3;+infini[ ? Mais quelles sont les applications de la concavité ou convexité d'une fonction ?

[Archibald]

En physique, si la dérivée première représente la vitesse d'un objet, la seconde permet de connaître son taux d'accélération.

En économie, sujet que je maîtrise davantage, la dérivée de seconde a une multitudes d'application : qu'il s'agisse de maximisation/minimisation avec/sans contraintes, d'étude des fonctions de coût, productivité, profit, etc.

[t.itou29]

Quand je maîtriserai bien les bases d'analyse, je me mettrai à la mécanique classique ça semble intéressant, je devrai donc en avoir besoin. Quant à l'économie je sais pas, je passe en s, donc si j'en ai besoin ce sera dans le supérieur. En tout cas merci.