Dérivée seconde

[Doraki]

J'ai jamais vu encore un réel c unique qui tendait vers l'infini. Ca ressemble à quoi ?

Tu trouves pas bizarre d'avoir montré à la fois :
- f' s'annule en un point (unique, qui tend vers l'infini)
- f' est strictement croissante
- f' tend vers 0 en +l'infini.
?

[Anonyme]

C'est maladroit de ma part mais ce que je cherche a demontrer c'est que f'(x) tend vers 0 lorsque x tend vers +oo.

[Anonyme]

Une question: Peut on appliquer le TAF a une fonction bornee sur un intervalle de type [a,+oo] ?

[Anonyme]

Nightmare je suis interesse par ta solution qui utilise le theoreme des acroissements finis. Peux tu la poster ?

[Black Jack]

Si la dérivée seconde de la fonction est positive, la dérivée première de la fonction est croissante.

Si la dérivée première est > 0, à partir d'une certaine valeur X1 de la variable, elle le restera pour toutes les valeurs supérieures de la variable.
On aurait alors pour x > X1, f '(x) >= a avec a un réel strictement positif.

On a alors par intégration : f(x) >= f(a) + a.(x-a) (pour tout x > a)

et donc lim(x --> +oo) f(x) = +oo et la fonction ne serait pas bornée.

--> on doit avoir f '(x) < 0 quelle que soit la valeur de x et f(x) ne peut être que décroissante.

Sauf connerie de ma part.

:zen:

[Alpha]

--> on doit avoir f '(x) < 0 quelle que soit la valeur de x et f(x) ne peut être que décroissante.

Sauf connerie de ma part.
:zen:

D'accord avec toi Black Jack.

On peut même ajouter que f' tend vers 0.

En effet, f' étant croissante et majorée (par 0), elle converge (en +l'inf).

Mais si elle converge vers a<0, alors il est clair (et on peut le montrer en utilisant ton raisonnement) que f n'est pas bornée (inférieurement), donc f' converge vers 0.

Sauf connerie de ta ou de ma part :zen:

[Nightmare]

On a alors par intégration : f(x) >= f(a) + a.(x-a) (pour tout x > a)

Hum, tu intègres à partir de a, mais l'inégalité que tu intègres n'est vraie qu'à partir de ton certain X1 ...

[Alpha]

Hum, tu intègres à partir de a, mais l'inégalité que tu intègres n'est vraie qu'à partir de ton certain X1 ...

Oui, il a visiblement confondu a et X1, mais à part ca (en remplacant a par X1 là où il faut) c'est juste.

[Nightmare]

Oui, il a visiblement confondu a et X1, mais à part ca (en remplacant a par X1 là où il faut) c'est juste.

Dans ce cas, X1 n'est pas forcément positif, et s'il est négatif, le raisonnement n'aboutit plus (il serait vraie si la fonction était définie sur R tout entier, et dans ce cas, on obtiendrait même qu'elle est constante).

[Alpha]

Dans ce cas, X1 n'est pas forcément positif, et s'il est négatif, le raisonnement n'aboutit plus (il serait vraie si la fonction était définie sur R tout entier, et dans ce cas, on obtiendrait même qu'elle est constante).

Euh, là je ne te suis pas... X1 est forcément positif puisque la fonction est définie sur R+. Et même si ce n'était pas le cas (si la fonction n'était pas définie sur R+, ce qui, je suis d'accord, changerait totalement le résultat de l'exo), puisque l'inégalité est vraie pour tout x>X1, il suffirait de prendre X2 = max (X1,0) (par exemple).

J'ai loupé un truc?

PS : je ne vois pas non plus où le signe de X1 intervient.. C'est le signe de a qui compte, le a de l'inégalité f'(x)>a.

[Nightmare]

Non ça tient la route effectivement,

sinon, il faut traiter le cas où f' s'annule.

[le_fabien]

Bonjour , moi je penserai que f admet une limite finie en + infini. :hein:

[Alpha]

Bonjour , moi je penserai que f admet une limite finie en + infini. :hein:

Vu que f est décroissante et bornée, y'a des chances oui ^^
(mais être décroissante et bornée c'est plus fort que juste admettre une limite finie en + l'inf))

[Black Jack]

Oui, il a visiblement confondu a et X1, mais à part ca (en remplacant a par X1 là où il faut) c'est juste.

Oui, petite distraction ... qui ne remet cependant pas la démo en question.

:zen:

[Anonyme]

Nightmare j'aimerais toujours voir ta demo avec le TAF (pour avoir quelques idee sur la maniere dont on peut exploiter ce theoreme).

J'aimerais aussi bien comprendre pourquoi ma demo precedente ne tiens pas la route. Il est vrai que c'est tres mal redigee mais je pense que l'idee est valide. Voici les grandes lignes :

-Pour demontrer que f'(x) est negative il suffit de demontrer que la limite de f'(x) en +oo est 0.

Pour cela:

- Je demontre que si f'(x) s'annule alors elle s'annule qu'une seule fois.

- Grace au TAF j'encadre la valeur de c tel que f'(c)=0. Je trouve que tout intervalle de type [a,+oo] contient c (a est un reel).

- Donc c --->+oo

Ce qui conclu.

Qu'en pensez vous ?

[Nightmare]

Il faudrait que tu explicites ce que tu fais avec le TAF. Et que se passe-t-il si f ne s'annule pas?

Sinon avec le TAF, grossomodo cela revient à faire ce qu'a fait Blackjack :

S'il existe c tel que f'(c) > 0, alors le TAF assure que pour x arbitraire supérieur à c, il correspond y tel que f(x)-f(c)=(x-c)f'(y) et f(x) > (x-c)f'(c)+f(c) par croissance de f, le membre de droite tend vers +oo lorsque x tend vers +oo.