Dérivation : Problème

[Jey]

Bonjour,
j'ai un problème à résoudre qui me pose beaucoup de difficultés, voici l'énoncé :

Soient les fonctions f, g et h définies sur l'intervalle I = [-0,5;0,5] par
f(x)= 1/(x+1), g(x)= 1-x et h(x)= 1-x+x²
Soient C1, C2 et C3 les courbes représentatives des fonctions f, g et h dans un repère orthonormal du plan.

Partie A :

1) Etudier sur l'intervalle I la position des courbes C1, C2 et C3.
2) Montrer que f et h sont dérivables en 0 et determiner f'(0) et h'(0).
3) Montrer que C1 et C3 ont une tangente commune au point A(0;1). En donner une équation.
4) Tracer sur la même figure C1, C2 et C3.
5) Démontrer que, pour tout x de I, on a : |f(x)-g(x)|= supérieur ou égal.

Mes réponses :

Partie A :

1) f(x)>=g(x) sur I ; h(x)>=g(x) sur I ; f(x)>=h(x) pour x=[-0,5;0] et f(x)0 (f(x)-f(0))/(x-0) = -1 ; lim x->0 (h(x)-h(0))/(x-0) = -1

3) Equation de la tangente : y = 1-x

5) |f(x)-g(x)| = |x²/(x+1)|
|f(x)-g(x)| = x²/(x+1) car x² est toujours positif et x+1 de même sur I.

Je résoud : x²/(x+1)=0 toujours vrai (déduis grâce au tableau de signe)

Donc |f(x)-g(x)|0 sur I

Je suis bloquer ici. :hein:

Partie B :

1) (x+1)P1(x) = -x²+1
(x+1)P2(x) = x^3+1
(x+1)P3(x) = -x^4+1

Propriété : (x+1)Pn(x) = x^n+1+1

Je crois que ceci est faux. :triste:


Merci d'avance pour votre aide,
Jey.

[maturin]

alors tu as |f(x)-h(x)|=|x^3|/(x+1) et tu veux montrer que c'est =<2|x^3|

il te reste pas grand chose à faire juste à montrer que 1/(x+1)<2

pour le 6 tu te serts de tes réponses avec x=0.02
1/1.02=f(0.02)
hors tu as pour x>0 |f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)<2x²
d'où f(0.02)<0.9808

et h(x)-f(x)<2x^3
donc f(0.02)>1-0.02+0.02²-2*0.02^3=1-0.02+0.04-0.0016=0.980384

donc 1/1.02=0.98 à 0.0008 près

[coc23]

salut

je pense que c'est plutot (x+1)Pn(x)=((-1)^n)(x^(n+1))+1.

D'autre questions?

[maturin]

et pour la partie B ta conjoncture ne tient pas compte que le signe change à chaque fois.
donc tu auras

[Jey]

alors tu as |f(x)-h(x)|=|x^3|/(x+1) et tu veux montrer que c'est =<2|x^3|
il te reste pas grand chose à faire juste à montrer que 1/(x+1)<2

C'est |f(x)-h(x)|=|-x^3|/(x+1)

Je ne comprend pas bien, en montrant que 1/(x+1)<2 je prouve que |-x^3|/(x+1)<=2|x|^3 ?

Merci pour la conjecture, mais je ne trouve pas comment faire la question suivante. :hein:

PS : Quelqu'un peut-il me confirmer que ce que j'ai fais à la question 1 de la partie A est correct svp ?

[Jey]

pour le 6 tu te serts de tes réponses avec x=0.02
1/1.02=f(0.02)
hors tu as pour x>0 |f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)1-0.02+0.02²-2*0.02^3=1-0.02+0.04-0.0016=0.980384

donc 1/1.02=0.98 à 0.0008 près

C'est |f(x)-h(x)|<=2|x|^3

Pourrais-tu me détailler les calculs stp ? J'ai un peu de mal à comprendre.
Ou du moins m'expliquer la démarche.

Merci d'avance.

[maturin]

ben j'ai pris x=0.02
donc |x|=x
et pour x>0 tu as montré que h(x)>f(x)>g(x) donc tu fait sauter les valeurs absolues de la meme facon car f(x)-h(x)<0 donc |f(x)-h(x)|=h(x)-f(x)


pour la partie B y a qu'à remplacer Pn(x) par sa conjecture dans l'expression |f(x)-Pn(x)|

c'est pas compliqué cherche un peu quand même.

[Jey]

Ok, merci beaucoup.

[Jey]

Partie A :

5) J'ai |f(x)-h(x)|=|-x^3|/(x+1) et je dois montrer que c'est =0 avec le tableau de signe je confirme que (2x+2)/(x+1) est bien supérieur à 0 mais pas égal, ce n'est pas bon si ?

Partie B :

2) J'ai Pn(x) = [(-1)^n*x^(n+1)+1]/(x+1)
Soit |f(x)-Pn(x)| = |[-(-1)^n*x^(n+1)]/(x+1)|

Est-ce que c'est bien ceci ?

[maturin]

alors |-x|=|x| car |-1|=1

donc |-x^3|/(x+1)<2|x^3| est équivalent à 1/(x+1)<2 (car x+1positif)
après tu multiplies par x+1 positif à droite et a gauche
c'est donc équivalent à 1<2(x+1)
soit x>-1/2 ce qui est vrai !

(nota: mes < sont des inférieurs ou égal)

partie B oui c'est bon et tu peux virer le (-1)^n car dans t'es dans une valeur absolue.

[Jey]

Encore merci, je continue mon problème. :)

Ah donc, j'écris le résultat final comme ceci :
|f(x)-Pn(x)| = |-x^(n+1)|/(x+1)
Ou comme cela :
|f(x)-Pn(x)| = |x^(n+1)|/(x+1) ?

[Jey]

Partie B :

Soient les polynômes : P1(x) = 1-x, P2(x) = 1-x+x² et P3(x) = 1-x+x²-x^3
et plus généralement, pour un entier naturel n quelconque non nul :
Pn(x) = 1+(-1)x+(-1)x²+(-1)x^3+.....+(-1)x^n

1) Calculer : (x+1)P1(x), (x+1)P2(x) et (x+1)P3(x)
Conjecturer une propriété.
2) En déduire que, pour tout x de I, on a : |f(x)-Pn(x)|<=2|x|^(n+1)
3) Soit b = 1/1,002
Comment suffit-il de choisir l'entier n pour que b' = Pn(0,002) soit une valeur approchée de b à 10^-15 près ?
Pour cette valeur de n, calculer b' "à la main" et comparer avec le résultat donner par une calculatrice.

Quelqu'un peut il me donner une piste pour la question 3 svp ?