Dérivabilité

[Bastien L.]

Bonjour!


Normalement, quand je souhaite dériver une fonction, je vérifie systématiquement deux points, et dans cet ordre: d'abord, qu'elle est continue (avant, j'ai vérifié qu'elle était définie, certes), ensuite, que le nombre dérivé existe et est fini.

Mais, aujourd'hui, j'ai eu cette surprise: le hasard - je précise que j'étais au tableua, donc le professeur avait tout suivi - d'un exercie m'a fait d'abord vérifier que le nombre dérivé d'une fonction était défini et fini, avant que de me poser toute question sur la continuité. Lorsque le professeur m'indique de conclure "Donc, la fonction est dérivable.", le lui dit "Mais on n'a pas vérifié la continuité.", mais il me répond "Mais tu as déjà la dérivabilité, c'est plus fort.". En fait, sauf erreur de ma part, on n'avait pas la "dérivabilité", mais juste le fait que l'éventuel nombre dérivé était défini et fini…

Que dois-je en conclure?

[bombastus]

Bonjour,

si dans ton exercice tu as prouver que quelque soit a, f'(a) existe et est fini, alors tu as prouvé la dérivabilité de ta fonction!

[Sve@r]

Bonjour!


Normalement, quand je souhaite dériver une fonction, je vérifie systématiquement deux points, et dans cet ordre: d'abord, qu'elle est continue (avant, j'ai vérifié qu'elle était définie, certes), ensuite, que le nombre dérivé existe et est fini.

Mais, aujourd'hui, j'ai eu cette surprise: le hasard - je précise que j'étais au tableua, donc le professeur avait tout suivi - d'un exercie m'a fait d'abord vérifier que le nombre dérivé d'une fonction était défini et fini, avant que de me poser toute question sur la continuité. Lorsque le professeur m'indique de conclure "Donc, la fonction est dérivable.", le lui dit "Mais on n'a pas vérifié la continuité.", mais il me répond "Mais tu as déjà la dérivabilité, c'est plus fort.". En fait, sauf erreur de ma part, on n'avait pas la "dérivabilité", mais juste le fait que l'éventuel nombre dérivé était défini et fini…

Que dois-je en conclure?

La dérivabilité n'est possible que si la fonction est continue. Inversement, si tu prouves qu'elle est dérivable, tu as automatiquement prouvé qu'elle était continue.

Un exemple analogue: on te demande de démontrer qu'une figure est un rectangle et t'arrives dans ton raisonnement à démontrer que c'est un carré => tu peux t'arrêter.

[Bastien L.]

Bonjour,


Merci pour votre réponse.

On m'avait persuadé que l'existance et la finitude (on doit pouvoir dire comme ça, non...?) du nombre égale à la limite quand h tend vers 0 du quotient de f(x+h)-f(x) sur h, quel que soit x, n'était pas une constatation suffisante pour dire que f était dérivable et que son nombre dérivé était celui-ci, car avant il fallait démontrer que la fonction était continue.
Je n'ignore pas que la dérivabilité implique la continuité, le problème est que je ne cosidérais pas ce que je viens d'écrire comme la dérivabilité, mais comme l'existance d'un nombre, qui serait le nombre dérivé de la fonction dès lors que l'on pourrait montrer que la fonction considérée est continue.
Mais, si je vous comprend bien, vous dîtes qu'on ne risque rien à ne pas vérifier la continuité avant que de passer à l'éventuel nombre dérivé; c'est-à-dire qu'on ne trouvera jamais de fonction, fût-elle un monstre construit exprès, qui nous donne une limite quand h tend vers 0 du quotient de f(x+h)-f(x) sur h définie et finie sur son intervalle de définition, mais qui ne soit en vérité pas continue et donc pas dérivable ???
Si c'est le cas, on doit pouvoir le démontrer...

[Bastien L.]

Tant que j'y suis, ici, on parle de "primitive non dérivable"... N'est-ce pas contraire à la définition?

Et une dernière chose sur le sujet, s'il vous plaît: auriez-vous un exemple simple d'une fonction dérivable donc la dérivée n'est pas continue (je sais que c'est hyper simple, mais je n'arrive pas à m'en représenter une!)? Merci!

[Sve@r]

Mais, si je vous comprend bien, vous dîtes qu'on ne risque rien à ne pas vérifier la continuité avant que de passer à l'éventuel nombre dérivé;

Pas vraiment. On peut trouver une fonction continue mais non dérivable en un point. Et si tu cherches la dérivabilité pour prouver la continuité, tu risques alors de te vautrer...
Là t'as eu de la chance de trouver de suite la dérivabilité donc faut en profiter pour régler le problème de la continuité mais faut pas ensuite se dire que ce sera la méthode à appliquer pour le futur...

c'est-à-dire qu'on ne trouvera jamais de fonction, fût-elle un monstre construit exprès, qui nous donne une limite quand h tend vers 0 du quotient de f(x+h)-f(x) sur h définie et finie sur son intervalle de définition, mais qui ne soit en vérité pas continue et donc pas dérivable ???
Si c'est le cas, on doit pouvoir le démontrer...

Ben justement, si on, dit que la dérivabilité impose la continuité, c'est que ça a déjà été démontré...

Tant que j'y suis, ici, on parle de "primitive non dérivable"... N'est-ce pas contraire à la définition?

Ca parle de primitive non dérivable en un point ce qui est possible (enfin j'ai lu très vite donc ptet que j'ai raté le passage dont tu parles)...

Et une dernière chose sur le sujet, s'il vous plaît: auriez-vous un exemple simple d'une fonction dérivable donc la dérivée n'est pas continue (je sais que c'est hyper simple, mais je n'arrive pas à m'en représenter une!)? Merci!

Te suffit de prendre une fonction assez simple non continue, style et d'en sortir sa primitive ln(x)
Ainsi la dérivée de ln(x) n'est pas continue pour x=0...

[Bastien L.]

Pas vraiment. On peut trouver une fonction continue mais non dérivable en un point. Et si tu cherches la dérivabilité pour prouver la continuité, tu risques alors de te vautrer...

On doit pouvoir trouver un exemple où c'est vrai pour une infinité dénombrable de points, voire pour une infinité indénombrable de points, non?