Dérivabilité

[Vados]

Bonsoir !

On a un cercle de diamètre 4 avec A[4,0] et A'[-4,0]
Pour tout H du segment [AA'] , la perpendiculaire à (AA') passant par H coupe le cercle en M et N

J'ai réalisé la figure avec un point H qui navigue et le but est de déterminé la position de H rendant l'aire de AMN maximale...

1)démontrer que pour tout x appartenant à [-4,4] on a f(x) = (4-x)sqrt(16-x²)

[mathelot]

bonsoir,

indications

distinguer deux cas
et (la longueur est -x)

appliquer Pythagore

appliquer Aire

f(x) peut s'écrire avec une puissance 3/2

[titine]

Bonsoir !

On a un cercle de diamètre 4 avec A[4,0] et A'[-4,0]
Pour tout H du segment [AA'] , la perpendiculaire à (AA') passant par H coupe le cercle en M et N

J'ai réalisé la figure avec un point H qui navigue et le but est de déterminé la position de H rendant l'aire de AMN maximale...

1)démontrer que pour tout x appartenant à [-4,4] on a f(x) = (4-x)sqrt(16-x²)

Ton énoncé n'est pas très clair.
[AA'] est un diamètre du cercle ? Mais alors le diamètre est 8 pas 4.
Qu'est ce que x ? L'abscisse du point H ?

[Vados]

le cercle a un rayon de 4 , on imagine que le cercle est tracé avec pour centre O (0,0) , et aux extrémités sur la ligne des abscisses se trouve A' et A

[titine]

le cercle a un rayon de 4 , on imagine que le cercle est tracé avec pour centre O (0,0) , et aux extrémités sur la ligne des abscisses se trouve A' et A

Ah c'est le rayon qui vaut 4.
Que représente x et f(x) ?

[Vados]

Ah oui quel idiot !!
Du coup x est l'abcisse de h et f(x) l'aire du triangle soit (4*x) / 2

[titine]

Si je comprends bien x est l'abscisse de H et donc aussi de M et de N.
f(x) est l'aire du triangle AMN.
Donc f(x) = MN*AH/2 , d'accord ?

Soit M le point d'ordonnée positive et N celui d'ordonnée négative.
Sachant que M et N ont pour abscisse x et sont sur le cercle, quelles sont leurs ordonnées ?

Tu en déduis alors la longueur MN.

D'autre part AH = 4 - x , d'accord ?

Donc f(x) = ...............

[titine]

Ah oui quel idiot !!
Du coup x est l'abcisse de h et f(x) l'aire du triangle soit (4*x) / 2

Non . Aire triangle = (base* hauteur)/2 = MN*AH/2

[Vados]

Oui j'ai vraiment du mal avec le diamètre ^^
Donc (8*x)/2

1)Démontrer que pour tout x appartenant à [-4;4] on a f(x)=(4-x) * sqrt(16-x²)

[mathelot]

tu t'en sors ?

il y a la hauteur à calculer et la moitié de la base grâce au théorème de Pythagore.

[titine]

Relis ce que j'ai écrit et réponds :

Si je comprends bien x est l'abscisse de H et donc aussi de M et de N.
f(x) est l'aire du triangle AMN.
Donc f(x) = MN*AH/2 , d'accord ?

Soit M le point d'ordonnée positive et N celui d'ordonnée négative.
Sachant que M et N ont pour abscisse x et sont sur le cercle, quelles sont leurs ordonnées ?

[Vados]

La hauteur est juste la longueur HA mathelot non ?
La hauteur est égal à 4-x en fait non ?!

M et N ont pour ordonnée... je ne sais pas ^^

[mathelot]

bonjour

sauf erreur





.



puis aire=

l'aire s"écrit

si

ce qui devrait aider à dériver.


Il s'agit d'obtenir une formule si également.

[titine]

La hauteur est juste la longueur HA mathelot non ?
La hauteur est égal à 4-x en fait non ?!

M et N ont pour ordonnée... je ne sais pas ^^

M est un point du cercle de centre O ce qui signifie que OM = rayon = 4
Jusque là tu suis ?
Or si M a pour coordonnées (x ; y) la longueur OM est égale à (x² + y²)
Dis moi si tu ne comprends pas.
Donc , comme OM = 4 alors (x² + y²) = 4
Donc x² + y² = 16
Donc y² = 16 - x²
Donc y = (16 - x²) ou -;)(16 - x²)
La valeur positive correspond à l'ordonnée de M , la négative à celle de N.

Tu me suis ?

Donc MN = 2*;)(16 - x²)
D'accord ?

Donc Aire AMN = MN*AH/2 = (2;)(16 - x²) (4 - x))/2 = (16 - x²) (4 - x)

Est ce clair maintenant ?

[Vados]

Désolé j'étais en cours , donc j'ai avancé et j'ai réussi la question suivante qui est de démontrer si la suite est dérivable pour x=-4 ou x=4

Maintenant il faudrait que je démontre comment dériver f(x)

[Vados]

Comment dériver f(x)=;)(16 - x²) (4 - x)

Et comment justifier qu'elle est dérivable surtout

[titine]

Comment dériver f(x)=;)(16 - x²) (4 - x)

Et comment justifier qu'elle est dérivable surtout

Elle est dérivable car c'est le produit de 2 fonctions dérivables (4-x) est (16-x²)

Pour calculer la dérivée on utilise la formule sur la dérivée d'un produit : (uv)' = u'v + uv'
Avec u(x) = 4-x donc u'(x) = .....
Et v(x) = (16-x²) donc v'(x) = ......
Rappel : (;)u)' = u'/(2;)u)

[mathelot]

i) formule du produit (uv)'=u'v+uv'

ii)
on peut écrire

pour dériver (ça se dérive comme d'habitude)

[Vados]

L'erreur je mettais trompé de forumule...

u(x)=4-x et u'(x) = -1
v(x)=;)(16 - x²) v'(x)=1/2;)(16 - x²)

[titine]

i) formule du produit (uv)'=u'v+uv'

ii)
on peut écrire

pour dériver (ça se dérive comme d'habitude)

Tu as tout à fait raison mais je ne suis pas sûr que les exposants fractionnaires soient encore au programme de lycée malheureusement ...