Dérivabilité

[t.itou29]

Bonjour,
Je bloque sur un exercice:
Un triangle ABC variable, rectangle en A, dont l'hypoténuse a une longueur constante égale à 6. On pose x=AB; on a donc . On note S(x) l'aire du triangle.
J'ai trouvé .
On me demande d'étudier la dérivabilité de S en 6: le quotient n'étant pas défini au voisinage de 6, S n'est pas dérivable en 6. C'est là mon problème et l'objet de la question: pourquoi si pour x=0 et x=6 l'aire du triangle S est nulle, S est dérivable en 0 et pas en 6 ? Quand je regarde le graphe de S, S est definie à gauche (si on "prolonge" l'ensemble de définition) et à droite de 0, par contre pour 6, S n'est définie qu'à gauche, est-ce la raison ?

[Archibald]

Bonjour,

exactement. Pour qu'une fonction soit dérivable en un point, il faut qu'elle admette une limite finie et égale à sa gauche et à sa droite en ce point.

Tu remarqueras d'ailleurs que cette fonction est définie sur [-6;6]

[t.itou29]

Bonjour,

exactement. Pour qu'une fonction soit dérivable en un point, il faut qu'elle admette une limite finie et égale à sa gauche et à sa droite en ce point.

Tu remarqueras d'ailleurs que cette fonction est définie sur [-6;6]

Ok merci, et auriez-vous des exercices plus intéressants, subtils sur les dérivées que les classiques études de signes ou de figures ?

[Archibald]

Oui, tu as ce site là http://derivee.cours-de-math.eu/exercices-derivee-avance.php#1 avec les corrigés détaillés en prime. Mais attention, ça demande un niveau de réflexion un peu plus supérieur à celui du lycée.

[Ohper]

Bonjour,

exactement. Pour qu'une fonction soit dérivable en un point, il faut qu'elle admette une limite finie et égale à sa gauche et à sa droite en ce point.

Tu remarqueras d'ailleurs que cette fonction est définie sur [-6;6]

Juste pour préciser que c'est bien sur le taux d'accroissement qui doit admettre une limite finie..

[t.itou29]

Oui, tu as ce site là http://derivee.cours-de-math.eu/exercices-derivee-avance.php#1 avec les corrigés détaillés en prime. Mais attention, ça demande un niveau de réflexion un peu plus supérieur à celui du lycée.

Merci ils ont l'air intéressants, j'ai réussi le premier exercice, par contre dans la correction (http://derivee.cours-de-math.eu/solution3-1-1.php.) ils utilisent les dérivées secondes. J'ai juste utilisé la dérivée première, on demande de trouver les deux nombres dont la somme vaut 12 et le produit de l'un et du carré de l'autre est maximal.
J'ai fait d'où
On pose
On a alors et on trouve le maximum en faisant un tableau de variation, il est atteint pour x=8.
Je ne comprends pourquoi il faudrait utiliser la dérivée seconde, la première suffit ?
Et effectivement certains exercices doivent demander de la réflexion surtout celui avec les arcsinus et autres !

[Billball]

le role de la dérivée seconde est de déterminer si c'est un max ou un min , si tu écris seulement dérivée premiére = 0 , tu sais uiniquement que c'est un extremum (donc soit un max soit un min)

[Archibald]

Oui voilà, le rôle de la dérivée seconde lorsque tu fais une maximisation/minimisation comme ici est prépondérant. Bon, le corrigé utilises un vocable que je prescrirais personnellement mais l'idée est d'imposer une condition de second ordre : (courbe convexe) ou (courbe concave) pour vérifier que les coordonnées sont bien celles d'un minimum (resp. maximum).

[t.itou29]

le role de la dérivée seconde est de déterminer si c'est un max ou un min , si tu écris seulement dérivée premiére = 0 , tu sais uiniquement que c'est un extremum (donc soit un max soit un min)

Oui mais dans ce cas les deux nombres sont positifs et g est croissante de 0 à 8 et décroissante de 8 à l'infini donc normalement ça suffit ?

[Archibald]

Je crois que tu t'embrouilles entre l'étude de signe et de sens de variation.

[Archibald]

Certes, mais qu'est-ce qui t'indique que c'est un extremum global et non seulement local ?

[t.itou29]

Certes, mais qu'est-ce qui t'indique que c'est un extremum global et non seulement local ?

Excuse-moi, mais je ne comprends où est mon erreur, j'arrive au tableau de variation suivant:
On voit bien que pour x=8 g atteint son maximum sur [0;+infini[, et s'il existait un x sur cet intervalle tel que g(x)>g(8) alors g ne serait pas strictement croissante ou décroissante ?

[Archibald]

En revoyant l'énoncé, j'ai remarqué que tu as mélangé les trois conditions :

Deux nombres se cachent, cependant nous savons que leur somme vaut 12. Trouver ces deux nombres :
a) si la somme de leur carré est minimale
b) si le produit de l'un et du carré de l'autre est maximal,
c) si le produit de l'un et du cube de l'autre est maximal

Il ne s'agit pas de trouver le couple qui vérifie les 3 conditions en même temps, mais, pour chaque condition, trouver le couple particulier qui la vérifie.

Ainsi, pour la a, nous avons : (condition commune), somme de leur carré minimale = (extremum) + (convexité de la courbe qui implique que le point candidat est bien un minimum)

a) le système à résoudre :

[Archibald]

Non mais d'accord, ça c'est parce que tu as fait une étude du signe de la dérivée première. Toujours est-il que lorsque tu as : , tu as deux points candidats. Donc pour savoir lequel est le bon, tu te tournes vers la condition de second ordre qui n'est vérfiée que pour ... donc.

[t.itou29]

Non mais d'accord, ça c'est parce que tu as fait une étude du signe de la dérivée première. Toujours est-il que lorsque tu as : , tu as deux points candidats. Donc pour savoir lequel est le bon, tu te tournes vers la condition de second ordre qui n'est vérfiée que pour ... donc.

Désolé mais qqchose doit m'échapper. Le but d'utiliser la dérivée seconde, si j'ai bien compris, est de déterminer lequel des deux points candidats est un maximum: elle doit être négative pour un maximum. Or avec le tableau on voit que 0 n'est pas maximum et que 8 l'est, et c'est cela que l'on cherche ?

[Archibald]

En l’occurrence, c'est ça. Le but est d'utiliser uniquement les dérivées.

[t.itou29]

En l’occurrence, c'est ça. Le but est d'utiliser uniquement les dérivées.

OK, il fallait utiliser uniquement les dérivées, j'avais pas compris. Merci de votre aide et de votre patience surtout !