Congruences

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popichon
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congruences

par popichon » 25 Oct 2013, 19:18

bonjour, j'ai un exercice sur les congruences à faire ces vacances et je ne sais pas vraiment comment le faire.

Le numéro de l'INSEE d'une personne est un nombre de 15 chiffres. Il se compose de deux parties : les 13 premiers chiffres forment un nombre N, et les 2 derniers forment une clé de contrôle K=97-r, où r est le reste de la division euclidienne de N par 97.
Nous souhaitons trouver la clé avec une calculatrice qui n'effectue pas de calculs exacts sur des nombre à 13 chiffres.

Le nombre N = 154 0454 208 091.

1. Déterminer les entiers a et b tels que N = a x 10^6 + b
2. Déterminer le reste de 10² par 97, en déduire celui de 10^6 pat 97.
3. En déduire que K ;) 97-27a-b [97].

Voilà, je ne sais pas vraiment comment commencer.. Merci beaucoup si vous pouvez me donner une petite aide.



Sourire_banane
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par Sourire_banane » 25 Oct 2013, 19:46

popichon a écrit:bonjour, j'ai un exercice sur les congruences à faire ces vacances et je ne sais pas vraiment comment le faire.

Le numéro de l'INSEE d'une personne est un nombre de 15 chiffres. Il se compose de deux parties : les 13 premiers chiffres forment un nombre N, et les 2 derniers forment une clé de contrôle K=97-r, où r est le reste de la division euclidienne de N par 97.
Nous souhaitons trouver la clé avec une calculatrice qui n'effectue pas de calculs exacts sur des nombre à 13 chiffres.

Le nombre N = 154 0454 208 091.

1. Déterminer les entiers a et b tels que N = a x 10^6 + b
2. Déterminer le reste de 10² par 97, en déduire celui de 10^6 pat 97.
3. En déduire que K ;) 97-27a-b [97].

Voilà, je ne sais pas vraiment comment commencer.. Merci beaucoup si vous pouvez me donner une petite aide.

Salut,

N est un nombre avec combien de chiffres ?

popichon
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par popichon » 25 Oct 2013, 19:55

1 540 454 208 091. 13 chiffres.

N = a x 10^6 + b
N = 10^6 x 1 540 454 + 208 091 ??

(je suis pommée :mur: )

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chan79
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par chan79 » 25 Oct 2013, 20:15

popichon a écrit:1 540 454 208 091. 13 chiffres.

N = a x 10^6 + b
N = 10^6 x 1 540 454 + 208 091 ??


oui
a=1 540 454 et b=208 091

popichon
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par popichon » 25 Oct 2013, 21:42

Question 2:
10²;)3[97]
(10²)^3 ;) 3^3[97]
10^6 ;) 27 [97].

Mais je ne comprends pas le lien avec avec la dernière question :/

Sourire_banane
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par Sourire_banane » 25 Oct 2013, 22:36

popichon a écrit:Question 2:
10²;)3[97]
(10²)^3 ;) 3^3[97]
10^6 ;) 27 [97].

Mais je ne comprends pas le lien avec avec la dernière question :/

Quel est le reste de N après une div euc par 97 ?
Note-le r. Remarque que r < 97. Conclus.

popichon
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par popichon » 25 Oct 2013, 23:07

Sourire_banane a écrit:Quel est le reste de N après une div euc par 97 ?
Note-le r. Remarque que r < 97. Conclus.


10^6 ;) 27 [97]

1 540 454 ;) 94 [97]

208 091 ;) 26 [97]

10^6 x 1 540 454 + 208 091 ;) 2564 [97]
10^6 x 1 540 454 + 208 091 ;) 42 [97]

Je suis dans la bonne voie ou totalement hors sujet ?

Sourire_banane
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par Sourire_banane » 26 Oct 2013, 00:13

popichon a écrit:10^6 ;) 27 [97]

1 540 454 ;) 94 [97]

208 091 ;) 26 [97]

10^6 x 1 540 454 + 208 091 ;) 2564 [97]
10^6 x 1 540 454 + 208 091 ;) 42 [97]

Je suis dans la bonne voie ou totalement hors sujet ?

Hors sujet par rapport à ce que te demande la question. Il n'y a pas de a et de b dans ce que tu m'écris. On te demande de traiter le cas général, pas celui qui t'est proposé à titre d'exemple.

popichon
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par popichon » 26 Oct 2013, 00:20

Quel est le reste de N après une div euc par 97 ?
Note-le r. Remarque que r < 97. Conclus.


N= a x 10^6 + b
97 = N x q + r ? (où q serait un entier quelconque)

Trapnest
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par Trapnest » 26 Oct 2013, 01:11

Hello,

tu as juste aux deux premières.

Pour la 3ème :

10^6 ;) 27 [97]
10^6 * a + b ;) r
a * 27 + b ;) r [97]

K = 97 - r
K + r ;) 0 [97] (car K+r=97)
K + r ;) 97 [97]
K + (27*a +b) ;) 97 [97]
K ;) 97-(27*a+b) [97]
K ;) 97-27a-b [97]

Version détaillé, c'est moche mais tu comprendras tout j'espère.
Soit dit-en passant montrer ça ne sert a rien, même pas pour trouver la clé car y'a des simplifications bien plus... simples, et faire apparaître le 97 dans le congru est inutile ^_^

Et ton prof utilise : "Hyperbole Maths TermS spécialité, version 2012" si je ne m'abuse, page 13 !

popichon
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par popichon » 26 Oct 2013, 01:32

Trapnest a écrit:
K = 97 - r
K + r ;) 0 [97] (car K+r=97)
K + r ;) 97 [97]
K + (27*a +b) ;) 97 [97]
K ;) 97-(27*a+b) [97]
K ;) 97-27a-b [97]


Hum je ne comprends pas vraiment à partir de la seconde ligne..
Et sinon, si vous dites que ça ne sert à rien pour trouver la clé, pourquoi on nous fait faire ça ? :cry:
Et le livre dont le prof se sert, j'en ai aucune idée à vrai dire !

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chan79
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par chan79 » 26 Oct 2013, 10:05

popichon a écrit:Hum je ne comprends pas vraiment à partir de la seconde ligne..
Et sinon, si vous dites que ça ne sert à rien pour trouver la clé, pourquoi on nous fait faire ça ? :cry:
Et le livre dont le prof se sert, j'en ai aucune idée à vrai dire !

salut
le but est de travailler sur les congruences, bien-sûr














est le reste dans la division euclidienne de par





à noter que la calculatrice de windows donne directement (avec le bouton Mod) le reste dans la division euclidienne de N par 97 (soit 42)

Trapnest
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par Trapnest » 26 Oct 2013, 11:05

Regarde ton cours sur le congruences, tu dois voir :

A ;) B [K] signifie:

Le reste de la division euclidienne de A par K et de B par K est identique.
A-B est multiple de K.

On se sert de cette deuxième définition pour la deuxième ligne.
Si K+r = 97 (énoncé), alors K+r est multiple de 97.
Donc K+r ;) 0 [97]

Il s'agit certes de manipuler les congruences, mais l'expression à laquelle on te fait aboutir est maladroite et pas élégante du tout, j'ai l'énoncé original sous les yeux, ton prof l'a modifié, et je vois pas du tout pourquoi, enfin bon :)

Pour la clé, regarde ta carte vitale ou celle de tes parents, tu verras qu'elle est composée de 15 chiffres, et le travail effectué sur les 13 premiers donne les deux derniers.

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chan79
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par chan79 » 26 Oct 2013, 11:48

Trapnest a écrit: mais l'expression à laquelle on te fait aboutir est maladroite et pas élégante du tout

Tout à fait d'accord
Dans la congruence ci-dessous, le 97 ne sert à rien et il y a une infinité de K qui conviennent.
Il faut calculer le reste r puis K=97-r

K ;) 97-27a-b [97].

popichon
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par popichon » 26 Oct 2013, 13:50

Bon je suis vraiment désolée de ne rien comprendre malgré toutes vos explications..
comment trouvons nous que K + (27*a +b) ;) 97 [97] ?

Sourire_banane
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par Sourire_banane » 26 Oct 2013, 13:54

popichon a écrit:Bon je suis vraiment désolée de ne rien comprendre malgré toutes vos explications..
comment trouvons nous que K + (27*a +b) ;) 97 [97] ?

Parce qu'il s'agit de la définition de K.
K=97-r
Or on a N = r mod 97, avec ici r=27a+b
Alors K=97-(27a+b)=97-27a-b.
Comme K se trouve entre 0 et 97, on a K = K = 97-27a-b mod 97

popichon
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par popichon » 26 Oct 2013, 14:45

Est ce que c'est parce que 10^6 ;) 27 [97], et a ;) a [97],
donc par multiplication on obtient 10^6 x a ;) 27a.
Et que b ;) b [97],
donc par addition 10^6 x a + b ;) 27a+b [97] ?
N ;) 27a+b [97]

Peut on dire que N ;) r [97] ?

et K+r = 97
donc, K+r ;) 0 [97] et K+r ;) 97 [97]

Enfin bref, c'est les seules choses que je trouve, et je ne trouve pas le lien

Trapnest
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par Trapnest » 26 Oct 2013, 15:02

popichon a écrit:Est ce que c'est parce que 10^6 ;) 27 [97], et a ;) a [97],
donc par multiplication on obtient 10^6 x a ;) 27a.
Et que b ;) b [97],
donc par addition 10^6 x a + b ;) 27a+b [97] ?
N ;) 27a+b [97]

Peut on dire que N ;) r [97] ?

et K+r = 97
donc, K+r ;) 0 [97] et K+r ;) 97 [97]

Enfin bref, c'est les seules choses que je trouve, et je ne trouve pas le lien


C'est parce que :

Si A ;) B [K]
Et B ;) C [K]
Alors A ;) C [K]

 

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