Equations avec congruences

par **benekire2** » 20 Jan 2010, 17:03

Dinozzo13 a écrit:donc x est un multiple de 7 ou Cette équation admet des solutions ssi le pgcd divise 4, ce qui est le cas.

attention ici c'est

!!

par **Dinozzo13** » 20 Jan 2010, 17:06

Ah oui, mais sinon, hors mis cette erreur, ça marche ?

par **benekire2** » 20 Jan 2010, 17:11

hormis cette erreur, c'est cohérent

on se retrouve avec 3x=3[7] => x=1[7]

PS: Y avais bien des solutions ... c'est sur celle en congru mod 3 ou y en a pas

par **Dinozzo13** » 20 Jan 2010, 17:17

Je suis un peu perdu, il est possible de résumer ce qu'on a fait et ce qu'il va falloir faire ? merci

par **Skullkid** » 20 Jan 2010, 17:22

On reprend donc, on en était à (7|x ou 7|3x+4) et (3|x ou 3|3x+4). On veut écrire ces différentes conditions plus simplement. Pour 7|x et 3|x, y en a pas besoin.

On cherche donc à trouver une condition équivalente à (ou impliquée par, quitte à vérifier après) 7|3x+4. Ça revient à résoudre 3x+4 = 0 [7], ce que tu sais faire si tu as eu un cours sur les équations du premier degré en congruences.

De même, résoudre 3|3x+4, ce qui n'est pas bien compliqué (pas besoin d'appliquer une méthode de résolution systématique).

Sinon, méthode alternative proposée par Nightmare : au lieu de chercher à résoudre 7|3x+4 pour écrire plus simplement la condition 7|x(3x+4), tu peux montrer que 3x²+4x = 0 [7] équivaut à x² = x [7].

par **Nightmare** » 20 Jan 2010, 17:23

On a donc montré que si x était solution, il devait être divisible par 3 et congru à 0 ou 1 mod 7.

Réciproquement, on vérifie que si x=0 mod 3 et 7 ou si x=0 mod 3 et 1 mod 7 alors il vérifie bien l'équation.

par **benekire2** » 20 Jan 2010, 17:24

allons y :

pour plus de commodité on remplace le "équivalent" par = ... j'oublie, on est dans Z :

donc : 3x²+4x=0[21]
on est arrivé a dire :
3|3x²+4x et 7|3x²+4x

donc( 3|x ou 3|3x+4 ) et ( 7|x ou 7|3x+4)
après réductions : 3|x et ( x=0[7] ou x=1[7] )

Il reste plus qu'a trouver les solutions, déjà la cas 3|x et x=0[7] il est trivial.

Je te laisse le soin de finir ( si ce que j'ai écrit est juste obv )

par **benekire2** » 20 Jan 2010, 17:26

Nightmare a écrit:On a donc montré que si x était solution, il devait être divisible par 3 et congru à 0 ou 1 mod 7.

Réciproquement, on vérifie que si x=0 mod 3 et 7 ou si x=0 mod 3 et 1 mod 7 alors il vérifie bien l'équation.

Grillé !!

par **Dinozzo13** » 20 Jan 2010, 17:28

Skullkid a écrit:Pour 7|x et 3|x, y en a pas besoin.

Pourquoi ?

On a :
3x=3[7], x=1[7] ici il y a une solution
3x=2[3], idem ici.

par **Skullkid** » 20 Jan 2010, 17:45

Parce qu'on connaît les x divisibles par 7 : c'est les multiples de 7. De même pour ceux divisibles par 3.

Oui on a bien 3x+4 = 0 [7] <=> 3x = 3 [7] <=> x = 1 [7], mais tu peux le justifier ?

Tu es sûr qu'il y a une solution à 3x = 2 [3] ?

par **Dinozzo13** » 20 Jan 2010, 17:47

non, il y en a plusieurs

par **Nightmare** » 20 Jan 2010, 17:58

Dinozzo13 a écrit:non, il y en a plusieurs

Hum, tu es sûr ?

par **Dinozzo13** » 20 Jan 2010, 18:15

bah justement non

par **Nightmare** » 20 Jan 2010, 18:19

C'est bien dommage !

Que vaut 3x modulo 3 ?

par **Dinozzo13** » 20 Jan 2010, 18:22

3x=0[3] donc je crois qu'il n'y a pas de solutions

par **Nightmare** » 20 Jan 2010, 18:27

Tu crois ou tu en es sûr? :lol3:

par **Dinozzo13** » 20 Jan 2010, 18:36

Ca oui, j'en suis sûr

par **Nightmare** » 20 Jan 2010, 18:45

Ok, c'est effectivement vrai, cette équation n'a pas de solution.

par **benekire2** » 20 Jan 2010, 18:53

alors finalement, les solutions tu as pu les écrire ?

par **Dinozzo13** » 20 Jan 2010, 18:55

x=1[7] et ici, on a une infinité de solutions

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