Congruences TS Spé Math ..

[zebdebda]

oui !
Dans ce cas je te conseille de servir de ce que Banch a fait.
15 est une solution, ensuite on va de 21 en 21
donc x = 15+21k

(ou x= 21k, solution trouvée dès le début)

[Sapphire]

Le theoreme de bezout dit quoi ? Je ne comprends pas vraiment le raisonnement de BancH ..

Je concois que 15 congru à 0 [3] et que 15 congru à 1 [7]
et que 21 congru à 0 [3] et [7].

Mais apres ...

[zebdebda]

En fait c'est clair que 15+21k est congru à 0 mod 3 et à 1 mod 7.
Le problème est que sans le cours tu ne peux pas prouver que tu as là toutes les solutions.

La résolution rigoureuse serait trop longue. C'est vraiment "une soupe" qui ne se devine pas. ça n'est donc pas la réponse attendue par ton prof.
Je te conseille de garder la réponse à laquelle on a abouti, en ajoutant "mais je ne sais pas si j'ai là toutes les solutions"

Les profs apprécient l'honnêteté, plutôt que de dire voilà toutes le solutions et d'essayer de l'enturluper.

[Sapphire]

On en a parlé pendant un cours. On l'a utilisé pour un exercice.
Seulement, j'étais malade ce jour là (oui ca narrive qu'a moi ça ..).

Mais il ne l'a pas inclus dans le cours, seulement dans un exercice.

Je pense que je peux donc l'utiliser .. De plus, il est dans mon livre.

[zebdebda]

Très bien allons-y !
Le théorème de Bezout dit que si a et b sont premiers entre eux, il existe u et v tels que au+bv=1.

Ici, a=7 et b=3 : on a bien pgcd(a,b)=1

Donc il existe k et k' tel que 3k'-7k=1.

il faut trouver une solution particulière : on a vu (x=15) que k'=5 et k=-2 est une solution particulière.

On cherche l'ensemble de toutes les solutions.
On a le système :
3k'-7k=1 et 3*5-7*(-2)=1

Première étape, faire la différence des deux égalités. (surtout ne pas calculer 3*5 et 7*(-2))

[Sapphire]

Bon alors en fait, je crois que je vais laisser tomber cette option là..

Cette méthode ne me dit rien du tout, donc on n'a vraiment pas fait ce théorème là, il n'a fait qu'en parler.

Merci pour toutes ces explications ;)

Merci BancH aussi, je vais relire pour comprendre ;)

[zebdebda]

Je m'en doutais un peu :zen: c'est vraiment une méthode terrible : impossible de l'inventer sans l'avoir vue avant !

[Sapphire]

Javais au départ une idée : on avait 28x congru à 0 mod 21 apres a voir multiplié par 7.

On ne peut pas suivre cette idée la ?

[zebdebda]

Avec cette méthode tu perds des informations.
En effet, si tu veux e résoudre tu as juste 7x congru à 0 mod 21, donc x congru à 0 mod 3.

Donc x=3 devrait fonctionner. Or, 3*3²+4*3 = 27+12=39 congru à -3 modulo 21 !! ça ne marche pas.

Dès que tu multiplie les congruences, tu perds des informations (de la précision en fait.

Je t'explique. la première congruence te dit 3x²+4x=21k
tu en déduis que 28x=21k', mais tu perds l'équivalence car tu ne peux pas revenir en arrière.

[Sapphire]

En récapitulant on a :
3x² + 4x congru a 0 mod21, on decompose en nbres premiers :

on resout 3x²+4x congru à 0 [3] et [7].

Lors de la resolution modulo 7, on obtient deux resultats :
x congru à 0 modulo 7 et x congru à 1 modulo 7
(parce qu'on a factorisé : 3x²+4x congru à 0 [7]
soit x(3x + 4) congru à 0 [7]).

Mais je me rends compte en faisant des essais, que la solution 21k -6 fonctionne aussi :S

Une idée ?

[zebdebda]

On a donc deux solution :
et , c'est-à-dire x=21k, k appartenant à Z
ou et , donc x=15+21k', k' appartenant à Z

Pour ta solution -6+21k, elle est incluse dans 15+21k' (en prenant k'=-1+k)
15+21k'=15+21(-1+k)=15-21+21k=-6+21k

tindiiiiin !

[BancH]

Lors de la resolution modulo 7, on obtient deux resultats :
x congru à 0 modulo 7 et x congru à 1 modulo 7

On obtient deux résultats:

et

ou

et

[Sapphire]

Merci beaucoup ;)

[zebdebda]

De rien ! J'espère que c'est pas trop embrouillé dans ta tête.

[Sapphire]

Je vais revoir tout ça ce soir ^^

[Sapphire]

Après une bonne lecture, j'ai bien tout compris.
Merci

[zebdebda]

Super ! je suis contente pour toi.
Bonne soirée : repose-toi un peu tu l'as mérité !

[Sapphire]

Merci pour tout :++: