Congruences TS Spé Math ..

[Sapphire]

Bonjour,
J'ai un petit problème dans la résolution de cet exercice :

Résoudre dans Z : 3x² + 4x "congru à" 0 (mod. 21)

J'ai essayé de résoudre ça mais je tombe systématiquement sur x congru à 3 mod 21 .. Si quelqu'un pouvait maider, ce serait tres utile .

Merci

[zebdebda]

Posons X = 3x²+4x. La décomposition en facteurs premiers de 21 est 3x7 donc :
équivaut à et

[Sapphire]

Je réfléchis à ça et je reviens :happy2:
Merci

[Sapphire]

:mur: Je n'y arrive toujours pas :triste:

Je crois que je n'ai rien compris au cours des congruences ..

[zebdebda]

Je vais t'aider. Je crains de ne pas utiliser la méthode la plus pratique, car je n'ai pas fait de congruence depuis longtemps, mais c'est toujours mieux que rien !

Tu dois donc chercher x tel que et

Prenons la première, c'est la plus facile.
cela se simplifie très vite : qu'obtiens tu ?

[Sapphire]

Jobtiens 4x congru à 0 [3] parce que 3 congru à 0 [3] .

Mais 4 est congru à 1 [3], dc on a directement x congru à 0 [3] non ?

[zebdebda]

et car .
ça c'est fait !

Au tour de la deuxième maintenant.

Je te propose de factoriser.
Comme 7 est premier, le produit de facteurs sera congru à 0 modulo 7 si l'un des facteurs est congru à 0 modulo 7.

[Sapphire]

Dc on a soit x congru a 0 [7], soit 3x+4 congru à 0 [7].
J'imagine que c'est la premiere qui est bonne, et on aura :
x congru a 0 [7] et [3]. La solution serait alors x congru à 0 [21] parce 21 = 3 x 7 nan ?

Mais comment montrer que 3x + 4 congru à 0 [7] n'est pas la bonne ? ...

[zebdebda]

Il n'y en a pas une bonne et une fausse : les deux possiblités fonctionnent. (c'est une équation de degré 2 donc plusieurs solutions)

il faut maintenant se débrouiller avec le
Pour celle-ci un indice :

[Sapphire]

Ui c'est vrai j'ai un peu honte de ce que j'ai dit :hum:

Dc apres reflexion : 3x+4 congru à 0 [7] équivaut à : 3x-3 congru à 0 [7],
soit 3(x-1) congru à 0 [7],
soit x-1 congru à 0 [7],
soit x congru à 1 [7]

C'est ce qu'il fallait trouver ?

[BancH]

Moi j'ai essayé sans la congruence.






Donc est un carré parfait.

Après il faut remarquer que le plus petit positif est car






On travaille dans les entiers donc est solution.

Et par conséquent l'ensemble des solutions est

[Sapphire]

Je ne pense pas que ce soit ça qui me soit demandé..

Je crois plutôt qu'il faut que je travaille avec les congruences, comme le fait zebdebda ..

Merci quand même BancH de ton aide :)

[zebdebda]

Je suis d'accord avec ta solution : équivaut à

Maintenant le travail n'est pas fini.
Il faut trouver tous les entiers congru à la fois à 0 modulo 3 et à 1 modulo 7.
ça normalement tu sais faire.

[BancH]

Avec les congru il faut faire:

Si alors
Si alors
Si alors

Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors

Donc les solutions sont toutes des multiples de .
La moitié sont multiples de , et les autres sont congrues à modulo .

et
et

Or, si est solution, alors est solution.


Donc ou avec entier relatif.

[Sapphire]

Avec ces solutions, on a :x congru à 1 [7], soit x = 7k+1, k appartenant à Z
et x congru à 0 [3], soit x = 3k'+1, k' appartenant à Z.

Mais après je ne sais pas vraiment ce qu'il faut faire ..
J'ai pas vraiment compris le cours sur la congruence :triste:

[zebdebda]

en fait tu as x=7k+1=3k'
Tu cherches maintenant k et k'

Cela revient à 7k-3k'=1
Si on les appelle u et v ça te dira sans doute quelque chose : 7u-3v=1 ?

[Sapphire]

Merci BancH de ta réponse, mais je préfère finir ce que j'ai commencé !

[Sapphire]

Le u et et le v me rappellent les suites de Première, mais je doute que ce soit ça que tu attendais :hein:

[zebdebda]

Non pas du tout ! c'est une équation de Bezout. Généralement on fait ça avant les congruences

[Sapphire]

Alors là ... Je suis l'excpetion ^^

C'est le premier chapitre que l'on fait en Spé et on a pas vu ce théorème ...
Mais je me souviens d'en avoir parlé l'année dernière avec des amis et il y a une histoire de nombres premiers entre eux non ?