Congruences et division euclidienne Spé Maths

[himea]

Bonjour, il se trouve que j'ai un devoir maison à rendre en spécialité maths, mais c'est tout nouveau et je ne comprends pas encore comment résoudre ce genre d'exercices. J'espère que vous pourrez l'aider, je vous remercie d'avance !

Le premier exercice je n'ai aucune pistes.
1) Justifiez que le chiffre des unités d'un entier n est le reste dans la division euclidienne de n par 10.
2) on multiplie quatre entiers consécutifs. Émettre une conjecture sur le chiffre des unités du produit et la démontrer.

pour la première question, voilà mes recherches peu fructueuses
n= 10q+r
n-r=10q donc n-r est un multiple de 10
donc n est congru à r modulo 10

mais je ne vois pas ce que je peux en tirer.


Pour le deuxième exercice:
1) Etudier le chiffre des unités des premières puissances de 3. Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer.
2) Quel est le chiffre des unités de 2013^2013

1) On remarque que le chiffre des unités est toujours 1, 5, 7 et 9.
Je ne sais absolument pas comment démontrer cela, et je cherche encore pour la deuxième questions, je vais voir si je trouve quelque chose.

Pour le troisième exercice:
Démontrer que pour tout n entier naturel, n^2 + 23n + 2016 est un multiple de 6.

j'ai fait un tableau
n congru à ... modulo 6 0 1 2 3 4 5 (j'avoue ne pas avoir compris l'utilisation de ce tableau)
n^2 0 1 4 9 16 25



2016= 6*336, donc 2016 est un multiple de 6 donc on peut écarter 2016.
23n = 24n - n 24n est un multiple de 6 donc on peut écarter 24 n

il nous reste donc n^2-n, il faut prouver que n^2-n est un multiple de 6.
n^2-n = n(n-1)

Et là je ne sais plus quoi faire.

J'espère vraiment que vous pourrez m'aider, j'ai un dernier exercice à faire mais j'attends de le travailler un peu plus avant de demander votre aide.
Merci de votre réponse !

[annick]

Bonjour,
pour moi, ton nombre n s'écrit :

n= a.10^m + b.10^(m-1) +......+c.10²+d.10+u

et dans la division par 10 :

n=10q+r

Identifie ces deux expressions et tu as ta réponse.

[Sourire_banane]

Bonjour, il se trouve que j'ai un devoir maison à rendre en spécialité maths, mais c'est tout nouveau et je ne comprends pas encore comment résoudre ce genre d'exercices. J'espère que vous pourrez l'aider, je vous remercie d'avance !

Le premier exercice je n'ai aucune pistes.
1) Justifiez que le chiffre des unités d'un entier n est le reste dans la division euclidienne de n par 10.
2) on multiplie quatre entiers consécutifs. Émettre une conjecture sur le chiffre des unités du produit et la démontrer.

pour la première question, voilà mes recherches peu fructueuses
n= 10q+r
n-r=10q donc n-r est un multiple de 10
donc n est congru à r modulo 10

mais je ne vois pas ce que je peux en tirer.


Pour le deuxième exercice:
1) Etudier le chiffre des unités des premières puissances de 3. Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer.
2) Quel est le chiffre des unités de 2013^2013

1) On remarque que le chiffre des unités est toujours 1, 5, 7 et 9.
Je ne sais absolument pas comment démontrer cela, et je cherche encore pour la deuxième questions, je vais voir si je trouve quelque chose.

Pour le troisième exercice:
Démontrer que pour tout n entier naturel, n^2 + 23n + 2016 est un multiple de 6.

j'ai fait un tableau
n congru à ... modulo 6 0 1 2 3 4 5 (j'avoue ne pas avoir compris l'utilisation de ce tableau)
n^2 0 1 4 9 16 25



2016= 6*336, donc 2016 est un multiple de 6 donc on peut écarter 2016.
23n = 24n - n 24n est un multiple de 6 donc on peut écarter 24 n

il nous reste donc n^2-n, il faut prouver que n^2-n est un multiple de 6.
n^2-n = n(n-1)

Et là je ne sais plus quoi faire.

J'espère vraiment que vous pourrez m'aider, j'ai un dernier exercice à faire mais j'attends de le travailler un peu plus avant de demander votre aide.
Merci de votre réponse !

Salut,

Le premier va de soi. Un nombre entier n est quelque chose qui s'écrit sous la forme q*10+r (il s'agit de la simple division euclidienne de n par 10). r strictement inférieur à 10 et on l'identifie comme étant le chiffre des unités de n ainsi que son reste dans la division par 10.
Et ce que tu as fait correspond tout à fait à ça, c'est bien !

Soit k le premier entier. Alors ta multiplication est k(k+1)(k+2)(k+3).
Sachant que parmi ces quatre entiers, 2 sont à coup sûr pairs, que peux-tu en dire sur les chiffres des unités possibles ?
Maintenant, développe, fais un tableau de congruences pour chaque terme et bourrine.

Je vais réfléchir aux autres.

[chombier]

Pour le premier exercice, il faut utiliser le fait qu'un entier s'écrit a en base 10 où , ..., sont des chiffres, donc entiers et compris entre 0 et 9.

Ainsi tout entier a peut s'écrire

Que va-t-il te rester quand tu divises a par 10 ? Peux-tu écrire a sous la forme 10q+a0 ?

Pour le second exercice, si tu appelles ces quatre nombres a, b, c et d, tu cherches deux entiers q et r tels que (a+b+c+d) = 10 q + r.
Sachant que d’après la première question il existe un entier qa tel que a=10q_a + a0 (et pareil pour b, c et d).

Ça devrait t'aider à avancer !

[himea]

Je vous remercie pour votre réponse.
Pour l'exo 1:

1) N est congru à a0 (10), du coup N-a0 = 10q
N-r = 10q comme dans une division euclidienne
Donc a0 = r donc le reste est le chiffre des unités.

2) Si a0=4 N(N+1)(N+2)(N+3)est congru à 4*5*6*7 (10)
840 (10)
Or 840 est congru à 0 (10)
donc N(N+1)(N+2)(N+3) est congru à 0 (10)
Le reste est donc 0, et le reste et le chiffre des unités sont les mêmes, donc le chiffre des unités sera 0

si a0=5 le reste est 0
si a0=6 le reste est 4
si a0=7 le reste est 0
si a0=8 le reste est 0
si a0=9 le reste est 0

La conjecture est donc démontrer, N(N+1)(N+2)(N+3) est congru à 0 ou 4 (10)
donc le chiffre des unités sera 0 ou 4 lorsque l'on multiplie quatre entiers consécutifs.


Pour l'exercice 3 l'énoncé était faux, ce n'est pas : Démontrer que pour tout n entier naturel, n^2 + 23n + 2016 est un multiple de 6
Mais n^3 + 23n + 2016

J'ai essayé de trouver quelque chose mais je ne sais pas si cela est correcte.


Pour n^3

si n=0 0 est congru à 0 (6)
si n=1 1 est congru à ? (6) je ne sais pas quoi mettre pour n=1
si n=2 8 est congru à 2 (6)
si n=3 27 est congru à 3 (6)
si n=4 64 est congru à 4 (6)
si n=5 125 est congru à 5 (6)
si n=6 216 est congru à 0 (6)
si n=7 343 est congru à 1 (6)
si n=8 512 est congru à 2 (6)
si n=9 729 est congru à 3 (6)

Donc n^3 est un multiple de 6 pour tout n >= 0


Pour 23n

si n=0 0 est congru à 0 (6)
si n=1 23 est congru à 5 (6)
si n=2 46 est congru à 4 (6)
si n=3 69 est congru à 3 (6)
si n=4 92 est congru à 2 (6)
si n=5 115 est congru à 1 (6)
si n=6 138 est congru à 0 (6)
si n=7 161 est congru à 5 (6)
si n=8 184 est congru à 4 (6)
si n=9 207 est congru à 3 (6)

Donc 23n est un multiple de 6 pour tout n>=0


pour 2016

2016 est congru à 0 (6) donc 2016 est un multiple de 6

Donc n^3 + 23n + 2016 est un multiple de 6 pour tout n>=0

Merci beaucoup pour votre aide ! ^^