Arithmétique entrainement

par **lapras** » 10 Oct 2007, 10:37

Bonjour !
Je cherche à trouver pour quels nombres premiers p l'entier p2 - 1 est-il divisible par 24.
J'ai cherché de ce côté :
Il faut trouver les p tels que p² = 1 [24]
J'ai trouvé des congruences périodiques modulo 24.
Les p sont de la forme :
p = 2K_n + 1
avec la suite Kn :
K0 = 0
K_(n+1) = Kn + 2
si n paire
et
K_(n+1) = Kn + 1
si n impaire
(pour comprendre pourquoi cette suite, il suffit de regarder les modulo 24)
Donc ca me semble correcte, p²-1 divisible par 12 si p = 2*K_n + 1
C'est une condition necessaire, mais pas suffisante !
En effet, il y a des nombres non premiers qui appartiennent à l'ensemble des entiers = 2*Kn + 1

Comment donner une condition encore plus précise ?
Merci d'avance ! :happy2:

par **chan79** » 10 Oct 2007, 11:07

juste une idée
divisible par 24 équivaut à (divisible par 3 ET divisible par 8)
je ne sais pas si ça peut aider

par **Imod** » 10 Oct 2007, 11:18

Il me semble qu'à part 2 et 3 tous les autres entiers premiers sont solutions . En effet p-1 et p+1 sont divisibles par 2 et 4 ( ou 4 et 2 ) et l'un des deux est divisible par 3 donc (p-1)(p+1)=p²-1 est divisible par 24 .

Imod

par **lapras** » 10 Oct 2007, 13:15

Okay.
Mais en regardant mieux, mon ensemble de solution contient tous les nombres premiers. :++:
Merci a vous deux

par **lapras** » 10 Oct 2007, 14:41

J'ai des nouveaux problemes sur cet exo :

Soit a un réel , déterminer toutes les applications f de IR dans IR dérivables telles que pour tout x et tout y réels on ait :

f(x + y) = f(x) +f(y) + f(axy)

En posant y = 0
f(x) = f(x) + f(0) + f(0)
2f(0) = 0
f(0) = 0
la fonction s'annulle en 0
soit x la variable
y constante
f(x+y)' = f'(x) + f'(y) + ayf'(x) = f'(x)(1 + ay) + f'(y)
pour tout x, y et a car f dérivable

Apres je vois pas trop quoi faire, pouvez vous m'aider ?
Merci d'avance !

par **emdro** » 10 Oct 2007, 15:15

Salut!

la dérivée de f(y) est nulle, si tu dérives par rapport à x, et que y est fixé.
Et on ne note pas f(x+y)', mais f'(x+y).
Et la dérivée de f(axy) par rapport à x est ayf'(axy)

par **lapras** » 10 Oct 2007, 15:16

Oui pardon,
donc
f'(x+y) = f'(x)(1+ay)
je vois pas trop où ca me mene

par **emdro** » 10 Oct 2007, 15:20

f(x + y) = f(x) +f(y) + f(axy)

Donne en dérivant par rapport à x:
f'(x+y)=f'(x)+ayf'(axy)

Cette relation étant vraie pour tout y, tu peux maintenant poser x=0.

NB: attention, la dérivée de fou (f rond u) est u'*f'ou.

par **lapras** » 10 Oct 2007, 15:41

Oulala qu'est ce qu'il m'arrive je me trompe en dérivant une fonction composée...
f'(x+y)=f'(x)+ayf'(axy)
x = 0
f'(y) = f'(0) + ayf'(0) = f'(0)(1 + ay)
or
f'(y) = 0
donc
f'(0) = 0
ou
ay = - 1

Il y'a donc un "point d'inflexion" (si c'est bien ca le nom, je m'en rappelle plus) en 0 dans le cas ou f'(0) = 0

y'a t il d'autre astuces à trouver ?

par **emdro** » 10 Oct 2007, 15:50

lapras a écrit:or
f'(y) = 0

Dans tes rêves! :happy2:
Tu confonds les étapes de la démonstration:

On fixe y (arbitrairement)
On dérive par rapport à x
On obtient une relation valable pour tout x et pour tout y (y n'est plus constant).
On remplace x par 0.
f'(y) n'est pas nul!

par **emdro** » 10 Oct 2007, 15:53

f'(x+y)=f'(x)+ayf'(axy)

avec x = 0, f'(y) = f'(0) + ayf'(0) = f'(0)(1 + ay)
Posons K=f'(0)
f'(y)=k(1+ay)
ou si tu préfères, f'(x)=k(1+ax).

Il te reste à trouver une primitive, et à vérifier qu'elle convient à ton équation de départ (on n'a pas raisonné par équivallences).

par **lapras** » 10 Oct 2007, 16:10

Oui je me rend compte de l'énorme erreur que j'ai faite... J'étais toujours dans l'optique d'un y constant... :triste:
Les primitives sont de la formes :
F(x) = k(x + a*0.5x²) + C
C constante
or f(0) = 0
donc
C = 0
donc
F(x) = k*(x+a*0.5x²)

j'ai plus qu'a chercher celles qui vérifient :
F(x + y) = F(x) +F(y) + F(axy)

merci de ton aide précieuse emdro,
c'est la premiere fois que je tombe sur ce type d'exo, c'est un exo d'entrainement aux olympiades....

par **emdro** » 10 Oct 2007, 16:14

Il faut dire que c'est une phase délicate:
fixer y, dériver par rapport à x, fixer x, faire varier y, remplacer y par x...
On le fait en TS dans l'étude de la fonction ln, et à chaque fois, je perds les 4/5 de ma classe à ce moment! :hein:

par **lapras** » 10 Oct 2007, 16:22

Oui j'aime d'ailleurs beaucoup l'étude de la fonction ln , elle a des propriéts marrantes à démontrer....
Mais emdro, part tu de la définition ln'(x) = 1/x
ou ln(x) est la réciproque de la fonction exponentielle dans le cours pour tes TS ?

par **emdro** » 10 Oct 2007, 16:25

Premier choix, mon capitaine!
Je dis que ln est la primitive de la fonction inverse sur IR+*, qui s'annule en 1.
Je démontre ensuite que ln est bien la réciproque de exp.

par **lapras** » 10 Oct 2007, 16:27

Ok je préfere ton choix, c'est plus marran :happy2:
C'est un peu monotone de démontrer à partir de l'exponentielle... :++:
je suis sur que tes éleves ont adoré le ln(x^n) = nln(x) :happy2:

par **emdro** » 10 Oct 2007, 16:37

lapras a écrit:je suis sur que tes éleves ont adoré le ln(x^n) = nln(x) :happy2:

C'est une récurrence idiote (à partir de ln(x*y)=lnx+lny) qui commence à passer facilement à ce moment de l'année...

par **lapras** » 10 Oct 2007, 18:14

Oui la démonstration est triviale, mais l'utilisation de cette propriété est vachement belle je trouve.
Pour les équation du type
a^x = b^y

Moi en tout cas j'adore cette propriété !

par **emdro** » 10 Oct 2007, 18:24

Alors, tu dois adorer

?

par **lapras** » 10 Oct 2007, 18:26

Oué j'avoue que j'aime aussi :we:
En fait j'aime tout sauf la géométrie

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