[Entraînement] Limites intéressantes

par **benekire2** » 27 Déc 2009, 16:07

Bonjour,
Pour ceux qui révisent les limites ( s'il y en a ?) je propose quelques petites limites a calculer, dont deux ou trois sont dites "classiques" en classe de Terminale.

Calculer :
1-

2-

3-

4-

5-

6-

7-

8-

9-

10-

11-

Ce n'est ni trivial ni olympique ( ce n'est surtout pas le but !!) , juste d'un bon niveau de première.
Seul les trois premiers requièrent des théorèmes d'encadrement, pas forcément au programme en première S, le reste se fait sans.

Voilà, j'espère que ça intéressera quelques uns d'entre vous.

Cordialement,

par **benekire2** » 27 Déc 2009, 16:17

Bien sûr ce sont surtout des formes indéterminées, parce que les applications directes du cours, on en trouve par milliers et ça n'a que très peu d'intérêt.

par **Nightmare** » 27 Déc 2009, 18:11

Tiens, je pense à cette question pas trop difficile mais intéressante sur les limites :

Peux-tu trouver une fonction f, définie pour x assez grand, telle que

existe (n entier) mais

n'existe pas?

:happy3:

par **benekire2** » 27 Déc 2009, 20:10

je viens de lire l'énoncé, j'y ai pas réfléchis et je dois surement me tromper mais, si la limite n-->+inf donne +inf c'est qu'a partir d'un certain rang, la suite U(n) est croissante
maintenant je connais peu de fonctions qui n'ont aucune limite en +inf :
-les fonctions périodiques
-les fonctions non définies a partir de k
le dernier cas est déjà a exclure
le premier également

donc en fait je pense qu'une telle fonction n'existe pas... mais je pense que mon raisonement est erroné / incomplet (très) et que je dois faire fausse route ...

par **Skullkid** » 27 Déc 2009, 22:10

Essaye en faisant un dessin : ça se traduit comment sur le graphique de f que la suite des f(n) converge ?

Il ne faut également pas hésiter à chercher des exemples et contre-exemples chez des fonctions non continues, non dérivables, non monotones... d'ailleurs, pour les questions du genre de celle qu'a posée Nightmare, on n'a pas besoin de connaître l'expression de f : un dessin suffit souvent.

A force de ne rencontrer que des polynômes et des exponentielles, on aurait tendance à croire que toutes les fonctions en sont, mais c'est loin d'être le cas !

par **Anonyme** » 27 Déc 2009, 22:23

juste une petite précision: qu'entend t -on par défini pour x assez grand ?

Pour ce qui de l'exo principal vu que je ne connais pas le "theorme d'encadrement" j'ai pas essaye pour les 3 premiere , le reste ne semble pas si complique.
C'est quoi ce "theoreme d'encadrement" ? (je ne trouve pas de quoi il s'agit )

par **Nightmare** » 27 Déc 2009, 22:33

Salut Skullkid et Qmath :happy3:

Qmath > Quand je dis que la fonction est définie pour x assez grand, je sous-entendais que calculer sa limite en +oo avait un sens, autrement dit, elle est définie sur une certaine demi-droite ]a,+oo[

Le théorème d'encadrement énonce que si une suite est encadrée par deux suites convergentes vers la même limite, alors cette dernière converge aussi vers cette même limite (appelé aussi théorème des gendarmes).

par **Nightmare** » 27 Déc 2009, 22:34

benekire2 a écrit:je viens de lire l'énoncé, j'y ai pas réfléchis et je dois surement me tromper mais, si la limite n-->+inf donne +inf c'est qu'a partir d'un certain rang, la suite U(n) est croissante
maintenant je connais peu de fonctions qui n'ont aucune limite en +inf :
-les fonctions périodiques
-les fonctions non définies a partir de k
le dernier cas est déjà a exclure
le premier également

donc en fait je pense qu'une telle fonction n'existe pas... mais je pense que mon raisonement est erroné / incomplet (très) et que je dois faire fausse route ...

Comme le dit skullkid, il faut faire attention, l'espace des fonctions est bien plus grand qu'un espace contenant seulement les fonctions usuelles type polynôme, exp, ln et trigonométriques.

par **Skullkid** » 27 Déc 2009, 22:35

Définie pour x assez grand signifie définie (au moins) sur un intervalle de la forme

. Enfin perds pas trop de temps sur le domaine de définition, ce n'est pas l'objet de sa question.

Edit : grillé ! Je tape lentement ):

par **Nightmare** » 27 Déc 2009, 22:37

Skullkid a écrit:Edit : grillé ! Je tape lentement ):

Meuh non, dis toi que c'est moi qui tape vite :we:
:ptdr:

par **Anonyme** » 27 Déc 2009, 22:45

Pour l'exo de Nightmare je pensais a :
f(x) = x , si x appartient a N
------ sin(x) , dans les autres cas.

C'est bon ?

par **Nightmare** » 27 Déc 2009, 22:48

Oui, ça marche !

Une fonction continue (ou même dérivable) maintenant?

par **Nightmare** » 27 Déc 2009, 22:55

Au passage bénékire je n'ai pas relevé, mais une suite peut tendre vers l'infini sans être croissante à partir d'un certain rang !

par **Anonyme** » 27 Déc 2009, 22:55

Nightmare a écrit:Oui, ça marche !

Une fonction continue (ou même dérivable) maintenant?

Je pense a une fonction periodique de période 1 (continue et derivable bien sur :zen: )

Edit : j'ai trouve un exemple de fonction continu (pas derivable) : f(x)=x-[x]

pour la derivable je cherche ...

par **Nightmare** » 27 Déc 2009, 22:58

Par exemple :happy3:

Une fonction non périodique maintenant? :lol2:

A-t-on une CNS pour que la convergence de la suite soit équivalente à la convergence de la fonction? Je n'ai pas réfléchi à la réponse pour le moment.

par **Anonyme** » 27 Déc 2009, 23:05

Excuse mon ignorance mais c'est quoi une CNS ?

(condition necessaire suffisante ?)

par **Nightmare** » 27 Déc 2009, 23:10

Oui :happy3:

par **Anonyme** » 27 Déc 2009, 23:11

Pour la condition necessaire et suffisante je pensais a ce que la fonction soit monotone a partir d'un certain reel a.

par **Nightmare** » 27 Déc 2009, 23:17

suffisant c'est sûr, nécessaire un peu moins !

par **Anonyme** » 27 Déc 2009, 23:23

Nightmare a écrit:suffisant c'est sûr, nécessaire un peu moins !

Pourquoi pas necessaire ?
tu as un exemple en tete ? Moi j'arrive pas a imagine le contraire.. :marteau:
J'aimerais bien savoir a quoi tu pense :id:

Juste par curiosite le fait qu'elle soit suffisante est tres intuitif, peut on le demontrer ? :briques:

[Entraînement] Limites intéressantes

[Entraînement] Limites intéressantes

Qui est en ligne