Archimede ?

[Anonyme]

Bonsoir,

Je viens de lire quelques page sur les suites et je ne comprend pas trop ce passage :help: :

" La convergence vers 0 de la suite est une conséquence de l'axiome d’Archimède. En effet si est un reel strictement positif, on peut trouver un entier tel que . Pour , on a alors :

C'est quoi d'abord l'axiome d’Archimède ? Quelqu'un peut m'expliquer un peu ce passage ?

Il y a aussi un autre dans lequel on parle de "la propriété d’Archimède multiplicative" que je n'ai pas compris. Mais chaque chose en son temps et on en reparlera des que j'aurais fini de la première.

Merci

[Nightmare]

Salut,

La propriété d'Archimède est ce qui est dit après : " si d est un réel strictement positif ..."

[Anonyme]

Salut,

La propriété d'Archimède est ce qui est dit après : " si d est un réel strictement positif ..."

C'est un axiome ? Pourtant, si je ne m'abuse , je pense qu'on peut démontrer ce résultat. non ?

En tout cas je ne trouve pas cette démarche très naturelle (peut être parce que je ne suis pas habituer) n'aurait-il pas été plus simple de dire en prenant ?
Autre chose si j'ai bien compris l'utilisation de cette propriété vient-il du fait que donne au numérateur et qu'on cherche a le rendre positif ?

[Nightmare]

Non, pas vraiment un "axiome". Tout dépend de la définition qu'on prend de R. Si on admet qu'on a la propriété de la borne sup, alors la propriété d'Archimède en découle.

Pour ce qui est de ta preuve, pourquoi pas, mais qu'est-ce qui justifie l'existence de la partie entière? La propriété d'Archimède...

[Anonyme]

Pour ce qui est de ta preuve, pourquoi pas, mais qu'est-ce qui justifie l'existence de la partie entière? La propriété d'Archimède...

Et comment la propriété d’Archimède justifie l’existence de la partie entière ? N'est-il pas évident que tout réel est compris entre deux entiers consécutifs ?

C'est bien pour la raison que j'ai indiqué dans mon post précédant qu'on a utilisé la propriété d’Archimède ? ou existe t-il une raison plus directe on va dire ..

Merci Nightmare

[Ben314]

Salut,
Concernant les nombres réels, comme pour à peu prés tout en math, on peut :

1) Soit construire les nombres réels en partant d'autre chose : en général on part des quotients et on fabrique les réels en "bouchant les trous" soit à l'aide d'un procédé usuel dit de "completion" (suites de Cauchy) soit à l'aides des "coupures de Dedekind" soit... d'une autre façon.
Dans ce cas, évidement, toute les propriétées de R se démontrent, en particulier le fait que R est archimédien.

2) Soit présupposer l'existence des nombres réels et dans ce cas, on suppose qu'ils vérifient un certain nombre de propriétés appelées "axiomes" qui permettent de démontrer tout ce dont on a besoin.
Une des possibilité assez fréquente pour ces "Axiomes" est :
R est un corps commutatif, totalement ordonné, archimédien et vérifiant l'axiome des segments emboités (i.e. toute intersection décroissante de segments non vides est non vide)
Bien évidement, dans la vision "axiomatique" de R, il faut utiliser le fait que R est archimédien pour montrer l'existence de la fonction "partie entière"

[Anonyme]

Merci Ben :zen:

et concernant mon autre question ? :help:

Autre chose si j'ai bien compris l'utilisation de cette propriété vient-il du fait que donne au numérateur et qu'on cherche a le rendre positif ? ou bien il y a une raison plus directe ?

[Ben314]

Pour ton autre question, oui, on peut voir les choses comme ça.

[Anonyme]

Pour ton autre question, oui, on peut voir les choses comme ça.

Dois je comprendre qu'il y a une autre manière de voir les choses ? si oui ça m’intéresse :zen:

[Ben314]

Si tu veux, l'axiome d'archimède, il y a plusieurs facons de l'énoncer.
La plus usuelle est peut-être :
Pour tout réels a,b avec a>0, il existe un entier n tel que n.a>b.
Mais en fait, c'est équivalent à :
Pour tout réel x, il existe un entier n tel que n>x
Et aussi à :
Pour tout réel x>0, il existe un entier n tel que 1/nEt, comme c'est sous cette dernière forme que l'on s'en sert le plus fréquement en analyse, certains auteurs prennent ça comme "axiome d'archimède" et, dans ce cas, le résultat que tu doit démontrer est immédiat.

Mon "on peut voir les choses comme ça" signifiait uniquement que tout dépend de ce que l'on prend précisément comme "axiome d'archimède"

[windows7]

remarque d'odre culturelle : de la tu peux demontrer que Q dense dans IR

[Ben314]

remarque d'odre culturelle : de la tu peux demontrer que Q dense dans IR

Oui : si tu prend la "définition axiomatique" de R, alors la densité de Q dans R provient bien de l'axiome d'archimède ( et l'axiome des segments emboités n'est pas utile ici).

Intuitivement, l'axiome d'archimède dit que R n'est "pas trop gros" : il n'y a pas de réels "infiniement grand" (i.e. plus grand que tout les entiers) ni (ce qui revient au même) de réels "infiniment petit"
Par contre, l'axiome des segments emboités dit que R n'est "pas trop petit" : quand on fait une intersection de segments emboités, il reste au moins un élément à la fin.
C'est cet axiome qui fait toute la différence entre Q et R : tout les autres axiomes (corps commutatif totalement ordonné et axiome d'archimède) sont vérifiés dans Q, mais pas celui des segments emboités.

[Anonyme]

Merci pour tout !

[Anonyme]

Une dernière question :

La propriété d’Archimède ne découle pas t-elle directement de la résolution d’inéquation ? je m'explique :

La propriété d’Archimède dis que pour tout x,y de R il existe un entier n tel que :
nx>y

Mais on pouvait déduire cela en résolvant l’inéquation nx>y on trouve alors n> y/x donc
n appartient a ]y/x , + oo[
mais comme n est un entier alors n appariaient a ]y/x , + oo[ (inter) N

et cet intervalle n'est-il pas évidemment non vide ?

[Ben314]

mais comme n est un entier alors n appariaient a ]y/x , + oo[ (inter) N

et cet intervalle n'est-il pas évidemment non vide ?

Tout le problème est le "évidement"...
Je suis 100% d'accord que, vu l'idée intuitive que l'on se fait des réels à travers les différentes manipulations que l'on apprend au Collége/Lycée, il est "évident" que, pour tout réel alpha ]alpha,+oo[ (inter) N est non vide.
Le problème c'est que dire "c'est évident", ben comme preuve, ça vaut pas...

En fait, le vrai problème, c'est que, si on veut démontrer que "quelque soit le réel alpha il existe un entier n>alpha", ben il faut avoir une définition relaivement "carré carré" de ce que l'on appelle un nombre réel et on considère (à mon avis à juste titre) qu'au Collége/Lycée, il est largement suffisant de se reposer sur une notion plus ou moins intuitive de ce que sont les réels.

Si ça t'interesse, cherche sur internet une construction des réels, par exemple celle à l'aide des coupures de Dedekind (c'est peut être celle dont l'idée est la plus simple).

[Anonyme]

Tout le problème est le "évidement"...
Je suis 100% d'accord que, vu l'idée intuitive que l'on se fait des réels à travers les différentes manipulations que l'on apprend au Collége/Lycée, il est "évident" que, pour tout réel alpha ]alpha,+oo[ (inter) N est non vide.
Le problème c'est que dire "c'est évident", ben comme preuve, ça vaut pas...

Je pense pouvoir obtenir ce résultat par l'absurde:
S'il existe un réel alpha a partir duquel il n'y a plus d'entier alors tout les entier sont inférieur a alpha donc N est inclus dans [0,alpha] donc [0,alpha] contient des valeurs qui tendent vers +oo ce qui est absurde non ?
Mais il est vrai que cela est plus intuitif que formel.

Si ça t'interesse, cherche sur internet une construction des réels, par exemple celle à l'aide des coupures de Dedekind (c'est peut être celle dont l'idée est la plus simple).

En fait je suis intéressé par la construction on va dire "historique" de R. On commence avec N puis on étend a Z puis a Q et puis a R avec la limite de suite de rationnels.
Il me semble que c'est la construction la plus naturelle. A -t -elle un nom ?

Merci

[Nightmare]

Comme l'a dit Ben, pour démontrer formellement les propriétés sur R, il faut préciser quelle définition on emploie mais surtout, une fois ceci fait, utiliser les hypothèses de la construction pour montrer ce qu'on veut. Du coup, si tu tiens vraiment à montrer que R est archimédien, il faut préciser la construction que tu emploies et surtout que tu l'utilises dans ta démonstration... Bref, c'est un peu difficile je pense à ton niveau, ou justement tout parait tellement intuitif qu'on a du mal à mettre une démonstration derrière. C'est là la difficulté, rendre "abstrait" quelque chose qui est à la base concret :lol3:

Pour la construction de R, je ne suis pas sûr qu'il y en ait de plus naturelle que d'autres. Je ne pense pas que celle dont tu parles porte réellement un nom, mais je peux te dire qu'elle est due, sauf erreur, à Cauchy.