Un tiers de carré

par **Imod** » 12 Jan 2012, 00:49

Bonsoir :lol3:

Un problème vu sur un autre site que j'aimerais partager ici :

Comment découper un carré en trois parts de même aire avec une longueur minimale de coupe ?

J'ai la réponse et une justification très approximative !

Dommage que Ben ne soit plus sur le site , je suis sûr qu'il aurait aimé :lol3:

Amusez-vous bien

Imod

par **Dlzlogic** » 12 Jan 2012, 15:12

Imod a écrit:Bonsoir :lol3:

Un problème vu sur un autre site que j'aimerais partager ici :

Comment découper un carré en trois parts de même aire avec une longueur minimale de coupe ?

J'ai la réponse et une justification très approximative !

Dommage que Ben ne soit plus sur le site , je suis sûr qu'il aurait aimé :lol3:

Amusez-vous bien

Imod

Bonjout,
Question : la solution doit-elle être donnée rigoureusement ou au second ordre près seulement ?

par **fafaf00** » 12 Jan 2012, 15:35

Je dirais qu'on coupe le carré par un trait vertical par exemple de facon à avoir 1/3 et 2/3.
Puis on partage la partie 2/3 en 2 par un trait horizontal.
Ce qui fait une longueur de coupe de 5/3 * le coté.

par **Dlzlogic** » 12 Jan 2012, 15:56

fafaf00 a écrit:Je dirais qu'on coupe le carré par un trait vertical par exemple de facon à avoir 1/3 et 2/3.
Puis on partage la partie 2/3 en 2 par un trait horizontal.
Ce qui fait une longueur de coupe de 5/3 * le coté.

Je pense que la solution recherchée est un peu plus compliquée.

par **Imod** » 13 Jan 2012, 17:57

Un indice : la coupe n'est pas uniquement constituée de segments de droite .

Imod

par **beagle** » 13 Jan 2012, 18:51

Imod a écrit:Un indice : la coupe n'est pas uniquement constituée de segment de droite .

Imod

genre tente d'indien?
ah la vache, c'est pas pour mon niveau!

par **beagle** » 13 Jan 2012, 19:30

La coupe a la forme d'une coupe,
et elle n'est droite, blague d'Imod,
car la coupe est penchée à 45°!!!

par **Imod** » 13 Jan 2012, 19:49

En fait c'est bien une coupe mais inversée :doh:

Imod

par **Doraki** » 13 Jan 2012, 20:00

Si les 3 parts sont obtenues en faisant 3 coupes à partir d'un point dans le carré vers les bords, l'inégalité isopérimétrique implique que les coupes sont des arcs de cercles (qui coupent le bord perpendiculairement). Après il reste à minimiser une fonction de 3 variables totalement imbuvable.

Même en supposant qu'on peut faire un truc avec une symétrie (où l'un des 3 arcs de cercle est en fait une médiatrice de l'un des cotés), la fonction de 1 variable à minimiser reste assez abjecte. Ou alors je m'y prends très mal.

Si les 3 parts sont disposées autrement (du genre deux parts sont des quarts de disques dans les coins, ou alors avec encore plus de coupe, une part est un disque, une autre est une couronne autour du disque, et la dernière est le reste) il me semble que ça donne pas des bons résultats.

par **Dlzlogic** » 13 Jan 2012, 20:02

beagle a écrit:La coupe a la forme d'une coupe,
et elle n'est droite, blague d'Imod,
car la coupe est penchée à 45°!!!

Salut,
A ton avis, c'est une coupe en brosse ou au rasoir ?

par **Imod** » 13 Jan 2012, 20:08

@Doraki

En fait le découpage est mixte , des arcs de cercle et des segments de droite . Le calcul n'est pas vraiment méchant mais pour une justification vraiment "propre" c'est autre chose .

Imod

par **Dlzlogic** » 13 Jan 2012, 20:10

Imod a écrit:En fait c'est bien une coupe mais inversée :doh:

Imod

J'ai un peu de mal à imaginer la raison pour laquelle une longueur de coupe en arc de cercle serait plus courte que la même coupe suivant la corde, compte tenu naturellement de l'égalité des aires.
Par ailleurs, je crois qu'en négligeant l'infiniment petit du second ordre, on devrait y arriver sans trop de difficulté.
Mais, j'ai pris l'hypothèse qu'il y avait un axe de symétrie, c'est peut-être pas vrai ?

par **beagle** » 13 Jan 2012, 20:11

Dlzlogic a écrit:Salut,
A ton avis, c'est une coupe en brosse ou au rasoir ?

Bon ,j'ai fait un dessin rapide entre deux trucs sérieux de mon boulot à moi que j'ai,
mais en calculant c'est pas terrible, c'est pire que le 5/3, alors c'était pour faire avncer le schimilibilick, mais il a plutot reculé!

par **Imod** » 13 Jan 2012, 20:14

Dlzlogic a écrit:J'ai un peu de mal à imaginer la raison pour laquelle une longueur de coupe en arc de cercle serait plus courte que la même coupe suivant la corde, compte tenu naturellement de l'égalité des aires.

C'est justement le problème , l'égalité des aires est une vraie contrainte :zen:

Imod

par **beagle** » 13 Jan 2012, 20:19

toujours aussi mauvais en calcul, finalement c'est mieux que 5/3
qui est 1,66666...
cela fait du 1,4142 truc du genre,
fuat trouver combien Imod pour longueur de découpe?

par **beagle** » 13 Jan 2012, 20:25

ah bah maintenant c'est faux pour une autre raiso, zut alors!

par **Imod** » 13 Jan 2012, 20:26

La réponse approchée est : 1,623278144...

Mais on on peut donner la valeur exacte sans problème .

Imod

par **Doraki** » 14 Jan 2012, 00:03

En tâtonnant dans le cas symétrique, je trouve un dessin qui ressemble fichtrement bien à des arcs de cercles de rayon 1 sur un secteur angulaire de ;)/6.
(déjà ça me surprend d'avoir à la fois un rayon et un angle/pi qui sont rationnels)

C'est aussi curieux parceque ce n'est pas la première fois que dans un problème de minimisation on voit un point au centre avec 3 angles de 2;)/3

En théorie je devrais pouvoir montrer qu'avec ces paramètres-là où tout est miraculeusement calculable, on obtient un minimum local (pour le cas symétrique) pour la longueur de coupe, qui est 2/3 + ;)/6 + sqrt3/4 = 1.623278144157...

J'aurais bien fait un dessin mais c'est pas une figure constructible à la règle et au compas

par **Imod** » 14 Jan 2012, 00:33

Une figure illustrant pourquoi une coupe traversant deux côtés opposés du carré ne peut qu'être constituée d'arcs de cercles de même rayon .

Imod

par **beagle** » 14 Jan 2012, 00:52

Bonsoir Dominique,
tu ne t'es pas trompé de dessin?
On dirait toi, ton visage avec ton chapeau à la remise des diplomes de je sais pas quelle université!

Un tiers de carré

Un tiers de carré

Qui est en ligne