Carré et irrationnel

par **Ben314** » 28 Nov 2009, 11:46

Je suis "un peu plus convaincu" (forcément, plus on ajoute d'équations...)
Mais j'ai l'impression que tu raisonne comme s'il était clair que les autres (éventuelles) solutions du système d'équation sont "disposées dans le carré a peu prés pareil que celle de départ".
Je me demande si ce n'est pas cela au fond qui me perturbe.

Ne faudrait il pas trouver un argument du type : s'il y a deux solutions alors il y en a une infinité paramétrables (ca c'est ton idée de départ) et montrer, pour des raisons de cardinalité que parmi cette infinitée de solution, il y en a deux "disposées presque pareil".
Je pense que cet argument cerait "béton" modulo... de donner un sens a
"disposé presque pareil" !!!!

L'idée qui me vient est du type :
Parmi cette infinité de solution, il y en a une infinité ou le "numéro" du carré en bas à gauche est le même...

P.S. pour formaliser le "disposé pareil", on peut considérer les coordonnées du centre de chaque carré et munir R^2 d'une relation d'ordre totale.
A chaque solution on peut associer une permutation de 1..nb_de_carré et, comme elles sont en nombre finis, il y en a une infinité disposée pareil.

P.S.2 Tout cela ne résoud pas complètement mon problème
"solution du système" => "solution en vrai"
Et on a évidement besoin de "solutions en vrai" pour dire que la somme des surfaces des petit carrés est la surface du grand...

par **Doraki** » 28 Nov 2009, 11:58

Ma notion de "disposés pareils" c'est que le dessin (en oubliant les longueurs, donc seulement combinatoire) formé par les contours des carrés est le même.

On part d'une décomposition d'un rectangle en petit rectangles, et on se pose la question de savoir si on peut transformer ces rectangles en carrés.

Souvent, il n'y a pas de solution.
Parfois on obtient une (mais pas plusieurs ... ) solutions en décomposition de carrés.
Tant que les longueurs des carrés sont positives et que les équations sont vérifiées, ça donne un véritable agencement.

par **Ben314** » 28 Nov 2009, 12:22

Je suis complètement convaicu MAIS
1) A froid, je ne vois pas comment formaliser la notion de "dessin combinatoire" (c'est là qu'on voit mon coté un peu "bourbakiste")
2) Je pense qu'il faut quand même ajouter à la preuve l'argument de cardinalité pour expliquer que s'il y a une infinité de solutions alors il y en a une infinité avec le même "dessin combinatoire" (il faut donc quand même un peu définir les "dessins combinatoires" pour justifier... qu'il n'y en a pas la puissance du continu...)

par **Ben314** » 28 Nov 2009, 12:51

C'est O.K. (il me semble)
On peut "coder" un dessin combinatoire en donnant la liste des carrés qui apparaissent à droite et à gauche de chaque verticale prolongeant les arrête (verticales) de tout les petit carré.
(mais je pense toujours qu'il faut un "argument cardinalité" )

par **Doraki** » 28 Nov 2009, 13:20

Je reprends un peu :

On se donne un dessin combinatoire d'un rectangle découpé en rectangles.
On cherche à savoir si cet arrangement peut donner un carré de coté 1 découpé en carrés de coté xi.
On cherche donc à résoudre un système d'équations linéaire sur les xi.

En outre, ce système implique (algébriquement) une équation de degré 2 particulièrement simple, qui dit que la somme des xi² vaut 1.

Dès lors, il ne peut y avoir au plus qu'une seule solution au système d'équations.
Sinon, on aurait une paramétrisation xi = ai + t*bi avec au moins un bi non nul, et il est impossible que l'équation de degré 2 soit vérifiée.

Et cette solution, si elle existe est rationnelle (on introduit pas autre chose en résolvant un système linéaire).

Donc il n'existe aucun dessin combinatoire qui permette de construire une infinité de pavages d'un carré avec des petits carrés, a fortiori on ne peut pas paver un carré avec des petits carrés dont l'un est de taille irrationnelle.

par **Ben314** » 28 Nov 2009, 13:47

Oui, je pense que c'est correct : si le dessin combinatoire est fixé, on a bien "solution du système" <=> "solution en vrai" (à condition de mettre assez d'équations dans le système) et il n'y a plus besoin d'argument de cardinalité.

par **laquestion** » 28 Nov 2009, 17:06

bon j'arrive pas à comprendre la preuve de Doraki mais je vais m'y pencher. par dessin combinatoire vous entendez la classe des dessin diffeomorphes?
y a t-il deux pavages diffeomorhes, d'ailleurs ?

par **Ben314** » 28 Nov 2009, 18:48

laquestion a écrit:par dessin combinatoire vous entendez la classe des dessin diffeomorphes?

Doraki a écrit:Ma notion de "disposés pareils" c'est que le dessin (en oubliant les longueurs, donc seulement combinatoire) formé par les contours des carrés est le même.

On part d'une décomposition d'un rectangle en petit rectangles, et on se pose la question de savoir si on peut transformer ces rectangles en carrés.

Vu la preuve de Doraki, j'ai pas l'impression qu'on ait besoin d'une définition super formelle... (mais peut-être me trompe-je...)

par **laquestion** » 29 Nov 2009, 19:18

le resultat pourrait aider à demontrer que le plus petit carré a pour coté 1/n pour un entier n...est-ce le cas ?

par **Ben314** » 04 Déc 2009, 00:23

laquestion a écrit:le resultat pourrait aider à demontrer que le plus petit carré a pour coté 1/n pour un entier n...est-ce le cas ?

Je ne pense pas : les différentes longueur sont les uniques solutions d'un système de "tout plein" d'équations qui "codent" le dessin (je pense qu'on peut se ramener à des équations uniquement de la forme "sommes de certaines longueurs=1").
Parmis toutes ces équations, il y en a n(=nbre de carrés) qui forment un système de Cramer (car la solution est unique) et les formules de Kramer pour les solutions d'un tels système te "vendent" que les solutions seront dans

.
A la limite, ce que l'on peut dire, c'est que l'on peut écrire tout ces quotients avec comme dénominateur le déterminant du système.

Cela peut conduire à la question (il me semble que c'est "intorchable") :
Quel est le plus grand déterminant que l'on peut obtenir avec une matrice nxn ne contenant que des 0 et des 1 ?

Amateur de casse-tètes à vos plumes... (on peut aussi faire un "concours" avec par exemple n=7...)

par **jeancam** » 04 Déc 2009, 21:17

bon tu ne penses pas; tu dois avoir raison.
pourtant j'ai l'impression qu'il est impossible de paver un damier n n avec des carrés dont le plus petit à un coté a m cases où m ne divise pas n. je prendrais bien un contre exemple...
sinon pour le det je vais réflechir...

par **Doraki** » 04 Déc 2009, 22:31

J'ai un contre-exemple :

on pave un carré 6*6 avec 9 carrés 2*2
on rajoute 5 carrés 3*3 sur les bords pour former un carré 9*9

On a donc pavé un carré 9*9 avec des carrés 2*2 et 3*3, mais 2/9 n'est pas un 1/n.

par **jeancam** » 05 Déc 2009, 22:48

Doraki a écrit:J'ai un contre-exemple :

on pave un carré 6*6 avec 9 carrés 2*2
on rajoute 5 carrés 3*3 sur les bords pour former un carré 9*9

On a donc pavé un carré 9*9 avec des carrés 2*2 et 3*3, mais 2/9 n'est pas un 1/n.

bien joué ! si tu trouves un contrexemple où aucun des cotés des carrés interieur ne divise le coté du grand, j'appelerai mon prochain fils Doraki(si tu me l'autorises...)

par **jeancam** » 05 Déc 2009, 22:52

Ben314 a écrit:
Cela peut conduire à la question (il me semble que c'est "intorchable") :
Quel est le plus grand déterminant que l'on peut obtenir avec une matrice nxn ne contenant que des 0 et des 1 ?

Amateur de casse-tètes à vos plumes... (on peut aussi faire un "concours" avec par exemple n=7...)

je pencherais pour n-1

par **ffpower** » 05 Déc 2009, 23:05

jeancam a écrit:je pencherais pour n-1

Non,c est sur qu on peut faire mieux. Par exemple, pour une matrice 10*10, on peut la choisir en 2 blocs 5*5 de sorte que le determinant vaille 4*4=16..

par **Doraki** » 05 Déc 2009, 23:10

Voilà un carré de coté 11 découpé en carrés de cotés 2,3,5, 6 :

[img]http://captainlama.free.fr/carrés.jpg[/img]

par **Ben314** » 05 Déc 2009, 23:23

As tu rentré dans un ordi. le système constitué des équations de ta soluce pour un "dessin combinatoire" (par exemple celui que tu vient de donner) pour voir la tête des déterminants des sous matrices ?

par **Doraki** » 05 Déc 2009, 23:32

Non, je le ferai peut-être demain si je suis curieux.

par **ffpower** » 08 Déc 2009, 18:43

'jour
Doraki, j'ai enfin regardé ta solution, mais ya un truc qui me chiffonne. Je résume ce que j'ai cru comprendre. Pour un "dessin combinaoire" donné ( que je sais pas trop comment définir rigoureusement, mais passons ), le fait de vérifier si on peut choisir les longueurs de sortes a ce que tous les rectangles soient des carrés se ramene a résoudre un systeme linéaire,ok. On a donc un espace affine de solutions ( ou du moins convexe si on impose les longueurs positives ). En rajoutant la condition "Aire totale=1", on voit qu'on a en fait au plus une solution. Mais pourquoi si cette solution existe,elle est forcément rationnelle? Ya a priori des solutions irrationnelles au systeme linéaire si celui ci n est pas de Cramer, pourquoi ce ne serait pas une des solutions irrationnelles qui vérifierait la condition "aire=1"?

par **Ben314** » 08 Déc 2009, 19:19

Si j'ai tout bien compris (c'est donc pas gagné.... :zen: ) on montre d'abord que le "tout plein d'équation linéaires" qu'on a ne possède qu'une seule solution PUIS on en DEDUIT qu'il contient un sous système de Cramer...

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