Carré et irrationnel

[laquestion]

Bonjour,
peut-on paver un carré de coté 1 avec des carrés dont un est de coté 1/pi ?
(je ne vise personne)

[Imod]

Les carrés de côtés 1 , c'est une très belle série de problèmes d'emdro ( fait une recherche :we: )

Le tien est beaucoup plus ( trop ? ) simple :we:

Imod

[Clu]

Tu saurais tracer un carré de 1/pi toi ?

[Benjamin]

Je vois pas le rapport. Tu sais tracer un carré de côté 1cm ? Moi pas. Pas plus et pas moins qu'un carré de côté 1/pi en tout cas.

[laquestion]

Les carrés de côtés 1 , c'est une très belle série de problèmes d'emdro ( fait une recherche :we: )

Le tien est beaucoup plus ( trop ? ) simple :we:

Imod

j'ai du passer à coté d'un truc evident...je vois pas ce qu'il y a de simple...tu aurais un argument ?(pour prouver que c'est pas possible)

[laquestion]

Tu saurais tracer un carré de 1/pi toi ?

j'ai pas dit que c'etait un probleme de construction. ceci dit je me pose la question pour tout carré d'aire (de coté ?) irrationel(le).

[Benjamin]

Tu te poses quoi comme question "pour tout tout carré d'aire (de coté ?) irrationnel(le)" ?

[Imod]

Bonjour,
peut-on paver un carré de coté 1 avec des carrés dont un est de coté 1/pi ?

J'avais mal compris la question , j'avais lu que tous les petits carrés devaient être de côté :marteau:

Du coup la réponse et la preuve sont bien moins évidentes :doh:

Je suppose que c'est un vrai pavage ( ie: avec un nombre fini de carrés ) ?

Imod

[Imod]

En fait j'avais lu le texte un peu vite :marteau:

On avait étudié ce problème il y a quelque temps , on doit pouvoir y inclure le tien :we:

Imod

[laquestion]

Tu te poses quoi comme question "pour tout tout carré d'aire (de coté ?) irrationnel(le)" ?

pour etre precis
peut on paver un carré de coté 1 avec des carrés dont un au moins a un perimetre irrationnel (meme question en remplaçant perimetre par aire (je pense que la reponse est non dans les deux cas mais je n'ai pas d'idée ou des vague pistes qui n'avancent encore à rien))

[Doraki]

Si l'aire est irrationnelle alors le périmètre/le coté l'est aussi.

Ca rentre bien dans l'exo qu'Imod a rappelé qui je pense a un énoncé un peu plus clair.
J'vais voir si j'pense à des trucs.

[ffpower]

Ca a l'air marrant, quand meme, du coup, je vais pas regarder le topic d imod, c'est plus amusant de chercher meme si l exo a deja été fait^^

[Doraki]

On regarde un grand carré de taille 1 découpé en petits carrés C1 ... Cn de taille x1 ... xn > 0.
En regardant la composition des lignes verticales et horizontales, on a plein d'équations du genre xi1 + xi2 + ... + xip = 1.
Le système d'équations a au moins une solution, vu qu'on en a une sous les yeux.
On suppose que le système a une infinité de solutions, on en prend par exemple une droite :
xi = ai + t*bi.
L'ensemble des t pour lesquels tous les xi sont > 0 est un ouvert, non vide.
Donc il contient au moins un petit intervalle.

En calculant l'aire du carré on a : 1 = (somme des ai²) + (2*somme des aibi)*t + (somme des bi²) * t².
Donc nécessairement, les bi sont nuls et en fait notre droite est un point.

Donc il n'y a qu'une seule solution, et elle est rationnelle.

[Ben314]

Alors là, je sent que je vais passer pour un c.. encore plus que d'habitude (si,si, c'est possible).

Tout d'abord, je ne comprend pas trés bien quelle est la question à laquelle doraki répond. (ca commence fort hein !)

Et EN PLUS, je comprend pas trés bien la réponse (est-il clair qu'a chaque solution du système d'équations correspond une décomposition "en vrai" du carré ?)

Bon, je pense que, si je comprenais la question, PEUT-ETRE que je comprendrais la réponse... (allez, marrez vous, va !!!!)

P.S. tant qu'a poser des question c.., celle là me trote dans la tête depuis un moment : pourquoi l'horloge du forum n'est elle pas à l'heure ?

[Doraki]

Je réponds à la question :
"on suppose qu'on a un carré de côté 1 qui est découpé en petits carrés.
Montrer que les longueurs des côtés des petits carrés sont rationnelles".

Est-ce que chaque solution correspond à un découpage du carré ?
Je dirais oui à la va-vite à partir du moment où chaque variable est positive, mais c'est vrai que ça devrait mériter un peu de réflexion.

[Ben314]

Non, effectivement, ca ne marche pas :
Si on coupe le carrée 1x1 en 4 carrés de cotés x1=x2=x3=x4=1/2
Si j'ai bien compris, ton système est
Horizontales : x1+x2=1 ; x3+x4=1;
Verticales : x1+x3=1; x2+x4=1;
et il n'est pas de Kramer...

P.S. par contre, la preuve de imod de 2007 m'a parfaitement convaincue...

[Doraki]

Oui effectivement le système n'est pas assez fort, mais on peut faire mieux, (j'explique dès que je pourrai faire un dessin)
On construit le système qui dit vraiment que la configuration qu'on regarde est possible, en quelque sorte..
sur ton exemple, on aurait x1=x2, x3=x4, x1=x3, x2=x4.

[Ben314]

Oui, j'ai encore parlé un peu vite :
Dans l'exemple ci dessus, on peut parfaitement considérer que la "coupe" en y=1/2 "donne" les 4 équations : x1+x2=x1+x4=x3+x2=x3+x4=1
Et dans ce cas, c'est o.k.

N'empèche que cela ne me parait pas complètement évident dans le cas général (a-t-on assez d'équations ?).

[laquestion]

Si l'aire est irrationnelle alors le périmètre/le coté l'est aussi.

comme la reciproque est fausse je me pose les deux questions

[Doraki]

Pour chaque ... euh ... contour en forme de 'H', on obtient une équation ;
plus la contrainte que le tout forme un carré de coté 1.

Là on obtient la contrainte b+c=d.

On a assez d'équations, parceque sinon, on pourrait faire varier des tailles de carrés, et on aurait un polynôme de degré 2 qui serait constant sur un petit intervalle.

Là sur cet exemple on a 4+4+2 = 10 équations, doit y avoir des redondances.