Un tiers de carré

[Doraki]

Si j'ai bien compris ton dessin, tu argumentes en disant que en prenant des copies des deux arc de cercles et en les tournant on obtient un truc qui ressemble à un cercle et que l'inégalité isopérimétrique dit que si on mettait un vrai cercle à la place (donc avec a fortiori une courbure constante) on aurait encerclé la même aire avec un périmètre plus petit.

Et que comme les découpages d'aires qu'on fait pendant la transformation sont constants (encore que c'est pas clair vu que ce n'est pas non plus clair la manière de faire la transformation, mais ça m'a l'air plausible pour l'instant), ça devrait impliquer qu'on peut remplacer les deux arcs initiaux par les arcs donnés par ton cercle en pointillé et gagner en longueur de coupe, sans changer le point P, et sans changer l'aire quadrillée. ok.

Sauf que, là où tu truandes, c'est que le 3ème arc de cercle, lui, change pendant la transformation.
Même si globalement l'aire quadrillée ne change pas, y'a quand même un transfert.
Quand on regarde le secteur délimitée par le demi-arc-de-cercle bleu à gauche, et ton segment vert horizontal, et pareil à droite entre l'horizontale et le demi-arc-de-cercle bleu, avec ton dessin j'ai bien l'impression que ton optimisation va transférer de l'aire de la droite vers la gauche.
Pour compenser l'équilibre entre les 3 parts il faudra donc pousser le 3ème arc de cercle (qui n'est pas dessiné mais qui va quelquepart en bas) vers la gauche.

Et donc on ne peut plus être certain qu'à la fin on ait gagné en longueur de coupe totale pendant la transformation.

[Imod]

Non , heureusement je n'ai jamais ressemblé à ça et mon passage à l'université ne mérite pas un chapeau :zen:

Imod

[Imod]

@Doraki

J'ai une fâcheuse tendance à croire qu'un dessin explique tout :hum:

On suppose qu'une coupe de longueur L traverse le carré de gauche à droite et atteint son point le plus bas "P" dans la partie droite du carré . On trace le symétrique de la courbe par rapport au côté droit du carré et on réitère l'opération pour générer une alternances de "bosses" de deux types . Ces bosses s'enroulent sans problème pour constituer un "hexagone" dont le périmètre est 6L . Si "P" est donné , l'hexagone en vert l'est aussi et la longueur "L" est minimale quand le périmètre du lacet en bleu est minimal . Pour un périmètre donné l'aire maximale est réalisée pour une boucle sur un cercle donc les morceaux de courbe à droite et à gauche de P sont des arcs de cercle de même rayon .

J'ai raté quelque chose ?

Imod

[Doraki]

Je pensais que tu prenais un découpage quelconque (avec 3 arcs de cercles/segments qui se rejoignent en un point P au centre), puis tu essayais de montrer qu'on pouvait remplacer 2 de ces découpages par 2 arcs de cercles de même courbure sans changer le point P ni le 3ème arc (alors qu'en fait le point P il change dans la transformation, rien ne garantit qu'il est sur le cercle).

Mais en fait même pas, toute ton argumentation c'est pour dire que si on veut découper un carré en un morceau d'aire 1/3 + un morceau d'aire 2/3 par une coupe la plus petite possible qui traverse le carré de part en part, alors il faut découper avec 2 arcs de cercles de même courbure ?

Non seulement c'est faux parceque la coupure optimale est un trait horizontal (de longueur 1) à la bonne hauteur, mais en plus ça ne dit RIEN sur le découpage en 3 parts avec une coupure optimale.



L'utilisation correcte de l'inégalité isopérimétrique je la vois plutôt comme ça :

On trace un cercle quelconque, on trace un diamètre du cercle (AB), et on regarde un point P ailleurs sur le cercle.
Alors l'inégalité isopérimétrique dit que le chemin le plus court pour relier P à la droite (AB) et qui est équivalent à l'arc de cercle au niveau de l'aire (l'aire qui dépasse du cercle par au dessus = l'aire qui dépasse du cercle par en-dessous), est cet arc de cercle.
En effet si on avait un autre chemin plus court de P à (AB), alors en recopiant ce chemin par symétrie derrière l'axe (AB), on obtiendrait une figure de même aire que le cercle initial mais de périmètre plus petit, ce qui est impossible.

En regardant tous les cercles possibles (y compris en faisant tendre le rayon vers l'infini, à savoir une droite), ça dit que les coupures à partir d'un point P à l'intérieur du carré sont des arcs de cercles (ou des segments) qui partent de P et coupent le carré perpendiculairement.



Donc si on se fixe un point P, on peut donc construire une fonction f qui à un réel modulo 1 (un élément de R/Z) donne un découpage optimal en arc de cercle,
tel que l'aire comprise entre le découpage f(x), le bord du carré, et le découpage f(y) vaut (y-x).

Pour découper le carré en 3 parts d'aire 1/3 il faut donc faire les découpages f(x), f(x+1/3), et f(x+2/3) pour x quelconque. Quand on modifie un arc, il faut modifier les 2 autres en même temps pour garder une aire de 1/3 partout.
Si on appelle l(x) la longueur du découpage f(x), il faut alors chercher à minimiser la fonction l(x) + l(x+1/3) + l(x+2/3). (attention l n'est pas dérivable partout)
Et ensuite on fait varier le point P et on cherche le minimum sur tous les points P possibles.

[Imod]

Je suis un peu têtu et je cherche une démonstration élémentaire

Comme tu le précises , je ne cherche pas à donner la solution complète mais juste une justification au fait que la courbe de longueur minimale passant par un point P et traversant le carré de gauche à droite en le partageant en deux parts dont l'une est le double de l'autre ne peut être constituée que d'arcs de cercles ou de segments .

Mon raisonnement précédent ne tiens pas mais ( sauf erreur ) il me semble que la courbe de périmètre minimal s'appuyant sur un segment donné , d'aire donnée est bien un arc de cercle ( ou à la limite un segment ) .



La ligne bleue minimale est donc constituée de deux segments et/ou arcs de cercles ( pas forcément de même rayon ) .

Imod

[Dlzlogic]

Y'a tout de même un truc qui m'échappe :
Le fait que la découpe soit un arc de cercle fait partie de l'hypothèse ou c'est un indice pour mous aider ?

[Imod]

Non , la seule exigence est qu'on puisse mesurer la longueur et l'aire limitée par la coupe .

Imod

[beagle]

Bon, je ne peux pas jouer au niveau de Doraki.
Alors intuit,
découper une des trois surfaces complètement à l'intérieur du gateau,
genre un rond en plein dedans, j'ose mème pas calculer,
partir d'un mème point sur un des cotés, idem intuit cela semble gourmand en longueur.
Donc on a envie de prendre un point commun près du centre.

j'avais orienté différemment, mais disons,
prenons le point central,,
on découpe en T, le vertical du t est au milieu,
on passe une horizontale aussi au milieu,
donc on afait 2 quarts et une demie.
reste donc à agrandir les quarts et diminuer la demie.
au lieu du T, on trace donc un Y, on peut jouer sur l'inclinaison des branches du Y et décaler aussi du centre, remonter un peu.
Question puisque les arcs de cercle ont la faveur,
on remplace les branches dy Y par des arcs de cercle, concave vers le bas, l'inverse de la coupe si c'était concave vers le haut.
Cela réalise-t-il ta coupe inversée dominique?

Autre question , Doraki parle de trois arcs de cercle, là où toi Dominique a une solution avec deux arcs et un segment, s'agit-il de plusieurs configs possibles?

si vous voulez nous mettre des dessins.

PS: bravo à toi Domi de relancer des trucs comme ça.
Ce que j'adore c'est qu'il y a juste un carré, 4 cotés, et trois coupes,
donc trois fois rien, et c'est déjà du haut niveau pour moi , héhéhé!

[beagle]

Bon ,j'ai craqué finalement, lu sur google l'autre fil en diagonale pour le moment.

Donc un y en segment optimisé semble arriver à 1,63491

et ce y avec des branches concaves arrive à 1,62327
et bravo à Doraki car c'est bien le 2/3 + pi/6 + racine carrée de 3/4.

Reste à mieux comprendre le pourquoi du comment.

[Imod]

Voilà la solution trouvée par Doraki



Le problème est de justifier que la solution est optimale . On peut le faire en admettant que le découpage ne peut être minimal qu'avec une coupe constituée d'arcs de cercles et de segments et en épuisant les cas un à un . C'est quand même assez lourd et c'est pour cette raison que je cherchais une justification plus géométrique mais je ne sais pas si on peut le faire simplement .

Imod

[beagle]

OK, j'avais mis le segment vertical pour la description en T , Y, en coupe, plus facile!
Le segment est considéré arc de très très grand cercle?
Ou bien Doraki a-t-il des soluces à trois arcs, non symétriques?

[Imod]

Je pense que la solution de Doraki est celle du dessin .

Imod

[Doraki]

beagle, quand tu vois un segment tu ne reconnais pas un arc d'un cercle de rayon infini ?
donc oui c'est cette solution.

Mais même en sachant que les 3 coupes sont des arcs de cercles, montrer que c'est ça le découpage optimal me paraît hautement non trivial.

[beagle]

[quote="Doraki"]beagle, quand tu vois un segment tu ne reconnais pas un arc d'un cercle de rayon infini ?
donc oui c'est cette solution.

QUOTE]

Si, si , juste pour savoir s'il y avait autre solution,
et je ne sais pas jusqu'où vont les définitions, encore moins dans les courbes ...

Bon, les défis sont toujours par équipe?
Parce que si oui, Doraki est dans mon équipe!

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Petite tentative d'explication géométrique.
1- pour raison de symétrie, le découpage a la forme approximative d'un 'Y'.
2- il existe un point P intersection des 3 lignes de découpe.
3- Concernant les deux branches de l'Y, je me suis bêtement bloqué sur le fait que la corde était plus courte que l'arc, mais en l'occurrence, le point important est que le raccord de ces branches sur les côtés du carré soient les plus courtes, donc il faut qu'elles soient perpendiculaires aux côtés.
4- on a donc une ligne qui passe par un point et qui est perpendiculaire à un côté. On a le choix entre un arc de cercle et un arc de parabole. Je pense que seul le calcul peut permettre de choisir. Je parie plutôt pour l'arc de parabole, je vais calculer ça demain.
En tout cas, c'est un beau problème.
Bonne soirée.

[Doraki]

On peut montrer que si on a un point P attaché à un arc de cercle A, si v est le vecteur unitaire tangent à l'arc de cercle en P (dans la direction de l'arc de cercle)

Si on bouge P d'un vecteur dU, et qu'on lui attache l'arc A' tel que l'aire entre A,A', et dU soit nulle,
alors L(A') - L(A) = -dU.v

Donc si on a une configuration optimale, alors pour tout vecteur dU, dU.(v1+v2+v3) = 0, où v1,v2,v3 sont les 3 vecteurs tangents aux arcs de cercle en P.
Et v1+v2+v3 = 0 implique que ces 3 vecteurs forment un triangle équilatéral, et donc que les 3 angles entre les arcs de cercles est 2;)/3 partout.

Reste plus qu'à montrer que le seul moyen d'avoir à la fois 3 angles de 2;)/3 et les 3 aires équilibrées, est sur la solution qu'on a trouvée.

[Dlzlogic]

On peut montrer que si on a un point P attaché à un arc de cercle A, si v est le vecteur unitaire tangent à l'arc de cercle en P (dans la direction de l'arc de cercle)

Si on bouge P d'un vecteur dU, et qu'on lui attache l'arc A' tel que l'aire entre A,A', et dU soit nulle,
alors L(A') - L(A) = -dU.v

Donc si on a une configuration optimale, alors pour tout vecteur dU, dU.(v1+v2+v3) = 0, où v1,v2,v3 sont les 3 vecteurs tangents aux arcs de cercle en P.
Et v1+v2+v3 = 0 implique que ces 3 vecteurs forment un triangle équilatéral, et donc que les 3 angles entre les arcs de cercles est 2;)/3 partout.

Reste plus qu'à montrer que le seul moyen d'avoir à la fois 3 angles de 2;)/3 et les 3 aires équilibrées, est sur la solution qu'on a trouvée.

Bonjour,
A moins que quelque chose m'ait échappé, si on a trois angles de égaux pour les 3 tangentes la figure représentant le trait de coupe est parfaitement définie, sauf sa position le long de l'axe de symétrie.
Soit une position adoptée et supposons que A1 > A2 (A2 = A3)
Soit une autre position adoptée et que A1 < A2.
Alors il existe une position unique intermédiaire, telle que A1 = A2.

[Dlzlogic]

Bonjour,
A moins qu'un point m'ait échappé, compte tenu de la symétrie et de l'égalité des 3 angles des tangentes, la figure déterminée par le trait de coupe, glissant sur l'axe de symétrie est parfaitement déterminé.
Si on trace ce trait de coupe on aura par exemple A1 > A2 (A2 = A3)
Si on déplace ce trait de coupe, on aura A1 < A2.
Il existe une et une seule position intermédiaire telle que A1 = A2.
(J'ai pas beaucoup avancé avec ma parabole :cry: )

Ca peut être d'ailleurs un moyen de calculer la position définitive.
Si on déplace la figure de 1 unité, A1 varie de 1 unité x côté et A2 et A3 varient de -1/2 unité x côté.
Seul la longueur du segment porté par l'axe de symétrie varie.

[Imod]

Il me semble que si on pouvait prouver l'existence d'un axe de symétrie les arguments de Doraki permettraient de conclure .

Imod

[Doraki]

Il suffit de montrer qu'il y a un segment.
Parceque si il y a un segment et qu'il y a équilibrage des angles et des aires, alors il est sur une médiatrice, et c'est forcément la solution qu'on a trouvée.